2005~2006年皖南十校高二数学期末联考-人教版[原创]

一、选择题（每题6分，共60分）

1．已知点A为双曲线的左顶点，点B和点C在双曲线的右支上，是等边三角形，则的面积是　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　 ）

（A）　 （B）　 （C）　 （D）

2．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线的距离中的最小值是（　 ）

（A）　 （B）　 （C）　 （D）

3．若实数x, y满足(x + 5)²+(y – 12)²=14²，则x²+y²的最小值为　　　　  （　　　）

 (A) 2　　　　　　　  (B) 1　　　　　　　 (C) 　　　　　　　(D)

4．直线椭圆相交于A，B两点，该圆上点P，使得⊿PAB面积等于3，这样的点P共有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　　）

(A) 1个　　　　　　 (B) 2个　　　　　  (C) 3个　　　　　　　  (D) 4个

5．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y＋b＝0和曲线bx²＋ay²＝ab的图形是

　　　　　　　　　　　　　  　　  A　　　　　　　　　  B　　　　　　　  　 C　　　　　　　　  D

6．过抛物线y²＝8(x＋2)的焦点F作倾斜角为60^o的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于　　　　　　 （　　 ）

A．　　　　　　　　　 B． 　　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　 D．

7．方程表示的曲线是　　　　　　 (　　　)

A. 焦点在x轴上的椭圆　　　　　　　　　　　　　　　　 B. 焦点在x轴上的双曲线

C. 焦点在y轴上的椭圆　　　　　　　　　　　　　　　　 D. 焦点在y轴上的双曲线

8、教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有直线与直尺所在直线　　　(　　　)

 A、平行　　　　  B、垂直　　　　  C、相交　　　　  D、 异面

9．如图，正方体ABCD-ABCD中，EF是异面直线AC和AD的公垂线，则EF和BD关系是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　　）

　　 A．相交不垂直　　　　　  B．相交垂直

　　 C．异面直线　　　　　　  D．互相平行

10．有一正方提纸盒展开如图，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF②AB和CM成60°③EF和MN为异面直线④MN∥CD，其中正确序号是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

A．①②

B．③④

C．②③

D．①③

二、填空题（每题5分共20分）

11．在椭圆中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B。若该椭圆的离心率是，则=　　　　　　　 　　 。

12．设F₁，F₂是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF₁ : PF₂＝2 : 1，则三角形PF₁F₂的面积等于______________．

13．若正方形ABCD的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上.则该正方形面积的最小值为　　　　　　.

14．对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB=AC，BD=CD则BC⊥AD；②若AB=CD，AC=BD则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD则BC⊥AD；④若AB⊥CD， BD⊥AC则BC⊥AD；其中真命题序号是　　　　  ．

三、解答题（15，16题各10分，17，18题各12分，19，20题各14分）

15．求过原点且与直线x=1 及圆(x-1)²+(y-2)²=1均相切的圆的方程。

16．把椭圆绕它的中心旋转90°，再沿x轴方向平行移动，使变换后的椭圆截直线所得线段长为，求变换后的椭圆方程。

17．设曲线C₁:(a为正常数)与C₂:y²=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P。

（1）实数m的取值范围（用a表示）；

（2）O为原点，若C₁与x轴的负半轴交于点A，当0<a<时，试求⊿OAP的面积的最大值（用a表示）。

18．如图，已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面边长为3，侧棱长为4，连结A₁B，过A作AF⊥A₁B垂足为F，且AF的延长线交B₁B于E。

（Ⅰ）求证：D₁B⊥平面AEC；

（Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积；

（Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小.

19．在平面直角坐标系xoy中，给定三点，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。

（Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）若直线L经过的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。

20．过抛物线上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交轴于D，交轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足;点F在线段BC上，满足，且，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.

　2005~2006年皖南十校期末联考

1.C　2.B  3.B　4.B　 5.B　6.A  7.C　 8.B  9.D.10.D

11.90º　

12.设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为2a、2b、2c，则由其方程知a＝3，b＝2，c＝，故，PF₁＋PF₂＝2a＝6，又已知[PF₁：PF₂＝2：1，故可得PF_l＝4，PF₂＝2．在△PF_lF₂中，三边之长分别为2，4，2，而2²＋4²＝(2)²，可见△PF_lF₂是直角三角形，且两直角边的长为2和4，故△PF_lF₂的面积＝4．

13.解：设正方形的边AB在直线上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为、，则CD所在直线的方程将直线的方程与抛物线方程联立，得

令正方形边长为则①

在上任取一点（6，,5），它到直线的距离为②.

①、②联立解得或

14.1,3

15．

16.或

17. 解：(1)由　消去y得：　 ①
　　设，问题(1)化为方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根．
　　只需讨论以下三种情况：
　　1°△＝0得：，此时x_p＝－a²，当且仅当－a＜－a²＜a，即0＜a＜1时适合；
　　2°f (a)f (－a)＜0，当且仅当－a＜m＜a；
　　3°f (－a)＝0得m＝a，此时x_p＝a－2a²，当且仅当－a＜a－2a²＜a，即0＜a＜1时适合．
　　f (a)＝0得m＝－a，此时x_p＝－a－2a²，由于－a－2a²＜－a，从而m≠－a．
　　综上可知，当0＜a＜1时，或－a＜m≤a；
　　　　　　  当a≥1时，－a＜m＜a．

(2)△OAP的面积
　　∵0＜a＜，故－a＜m≤a时，0＜＜a，
　　由唯一性得　
　　显然当m＝a时，x_p取值最小．由于x_p＞0，从而y_p＝取值最大，此时，∴．
　　当时，x_p＝－a²，y_p＝，此时．
　　下面比较与的大小：
　　令，得
　　故当0＜a≤时，≤，此时．
　　　当时，，此时．

18.证（Ⅰ）∵ABCD­­­­—A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，

∴D₁D⊥ABCD.

连AC，又底面ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，

由三垂线定理知　D₁B⊥AC.

同理，D₁B⊥AE，AE∩AC = A，

∴D₁B⊥平面AEC .　　　　

　　解（Ⅱ）V_B－AEC = V_E－ABC .

　　　　　  ∵EB⊥平面ABC，

∴EB的长为E点到平面ABC的距离.

∵Rt△ABE ~ Rt△A₁AB，

∴EB =

∴V_B－AEC = V_E－ABC =S_△ABC·EB

　　　　=××3×3×

　　　　=　　　　 （10分）

　　解（Ⅲ）连CF，

　　　　　  ∵CB⊥平面A₁B₁BA，又BF⊥AE，

由三垂线定理知，CF⊥AE .

于是，∠BFC为二面角B—AE—C的平面角，

在Rt△ABE中，BF =，

在Rt△CBF中，tg∠BFC =，

∴∠BFC = arctg.

即二面角B—AE—C的大小为arctg.　　

19. 解：（Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为。点到AB、AC、BC的距离依次为。依设，，即，化简得点P的轨迹方程为

圆S：　　　　　　　　

（Ⅱ）由前知，点P的轨迹包含两部分

圆S：　　　　　　　　　 ①

与双曲线T：　　　　　 ②

因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。

的内心D也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆S上。直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为

　　　　　 ③

（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......10分

（ii）当时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：

　　　 情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率，直线L的方程为。代入方程②得，解得。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。

故当时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 情况2：直线L不经过点B和C（即），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组有且只有一组实数解，消去y并化简得

该方程有唯一实数解的充要条件是　　　　　　④

或　　　　　　　　　　　　　　　⑤

解方程④得，解方程⑤得。

综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集。　　　　　　.

20.解一：过抛物线上点A的切线斜率为：切线AB的方程为的坐标为是线段AB的中点.

设、、、，则由知，

得

∴EF所在直线方程为：

化简得

当时，直线CD的方程为：…②

联立①、②解得，消去，得P点轨迹方程为：

当时，EF方程为：方程为：，联立解得也在P点轨迹上.因C与A不能重合，∴

∴所求轨迹方程为

解二：由解一知，AB的方程为故D是AB的中点.

令则因为CD为的中线，

而是的重心.

设因点C异于A，则故重心P的坐标为

消去得

故所求轨迹方程为