襄樊市高中调研测试题(2005．6)

高二数学(理科)参考答案及评分标准

命题人：襄樊市教学研究室 郭仁俊

说明：

　　　 1．本解答指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

　　　 2．对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

　　　 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一．选择题：BADD　　BCBC　　CDBB

二．填空题：13．5　　14．240　　15．　　16．②④

三．解答题：

17．(1)证：前三项系数的绝对值是１，
　　依题意有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分
　　即n²－9n＋8＝0，解得n＝8，n＝1(舍去)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分
　　　　　　　 6分
　　当且仅当时，是常数，这时3r＝16，
　　∵r∈Z，∴3r＝16不可能，∴展开式中没有常数项．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

(2)若为有理项，则为整数
　　∵0≤r≤8，r∈Z，∴r＝０，４，８　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分
　　即展开式中的有理项共有三项，它们是：．　12分

18．证法一：设直线a与平面相交于点A，在平面取一点B
　　若点B在直线a上，则直线a与平面相交于点B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分
　　若点B不在直线a上，则直线a和点B确定一个平面
　　且平面与平面相交于过A点的直线b，平面与平面相交于过B点的直线c
　　∵，∴b∥c 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分
　　又在平面内，直线a与直线b相交，∴直线a与直线c相交于一点C
　　∵，∴，故直线a与平面相交于C点．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

证法二：设a与不相交，则或　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分
　　(1)若，∵，∴，与“a与相交矛盾”　　　　　　　　　　　　　　　　4分

(2)若，过作平面，使∩＝b，∩＝c　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分
　　∵，∴，因此，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分
　　又∵，∴，与“a与相交矛盾”　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11分
　　由(1)(2)可得：a与相交　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

19．(1)解：分别记甲、乙、丙三个网络系统在这段时间内受黑客入侵的事件为A、B、C
　　依题意：A、B、C三个事件相互独立　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分
　　∴在这段时间内三个网络系统都受到黑客入侵的概率为
　　P₁＝P(A ·B ·C)＝ P(A) ·P(B)·P(C)＝0.1×0.2×0.15＝0.003　　　　　　　　　　　　　　　　　5分

(2)解：在这段时间内只有一个网络系统受到黑客入侵为三个事件、、之一，且这三个事件彼此互斥　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7分
　　∴只有一个网络系统受到黑客入侵的概率为
　　P₂＝P(＋＋)
　　　＝P()＋P()＋P()　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　9分
　　　＝0.1×(1－0.2)×(1－0.15)＋(1－0.1)×0.2×(1－0.15)＋(1－0.1)×(1－0.2)×0.15
　　　＝0.329　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 11分
　　答：在这段时间内三个网络系统都受到黑客入侵的概率为0.003，只有一个网络系统受到黑客入侵的概率为0.329　　12分

20.方法一：(1)取CD边中点R，连结MR、NR，则NR∥PD，MR∥AD　　　　　　　 2分
　　∵AB⊥AD　Þ　AB⊥MR
　　又PA⊥平面ABCD ，由三垂线定理知AB⊥PD Þ AB⊥NR
　　∴AB⊥面MNR  Þ　AB⊥MN．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

(2)PA⊥平面ABCD，由三垂线定理知PD⊥CD，∴∠PDA＝　　　　　　　　　　　　　　6分
　　要使MN是AB与PC的公垂线，由(1)知MN⊥AB
　　∴只需MN⊥PC即可，又N是PC的中点，故只需CM＝PM即可　　　　　　　　　　　　8分
　　这时由于BM＝AM，∠ABC＝∠PAD＝90°
　　∴△CBM≌△PAM，故PA＝BC＝AD
　　∴△PAD为等腰直角三角形，∴∠PAD＝45°　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分
　　即当＝45°时可满足题意．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

方法二：以为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB＝a，AD＝b，AP＝c
　　则B(a，0，0)，C(a，b，0)，D(0，b，0)，P(0，0，c)
　　∴M(，0，0)，N()，R()
　　故，＝(a，0，0)，＝(a，b，－c)
　　(1) ∵，∴AB⊥MN．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分
　　(2)由(1)知MN⊥AB，要使MN是AB与PC的公垂线，只需MN⊥PC即可．
　　若MN⊥PC，则，∴b＝c　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分
　　即AD＝AP，因此∠PDA＝45°　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分
　　PA⊥平面ABCD，由三垂线定理知PD⊥CD
　　∴∠PDA＝，即当＝45°时可满足题意．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

21．(1)解：设青蛙顺时针跳动1次为事件A，逆时针跳动1次为事件B，则
　　P(A)＝，P(B)＝1－P(A)＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分
　　青蛙从A点开始经过3次跳动到达D点有两种方式：顺时针跳动3次或逆时针跳动3次
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分
　　故所求概率为P(A·A·A)＋P(B·B·B)＝　　　　　　　　　　　　　　　 6分

(2)青蛙从A点开始经过4次跳动到达E点有两种方式：逆时针跳动4次，或顺时针跳动3次而逆时针跳动1次　　　 8分
　　逆时针跳动4次的概率为
　　顺时针跳动3次而逆时针跳动1次的概率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分
　　故所求概率为．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

22．方法一：(1)记AC与BD的交点为O，连接OE，
　　∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，
　　∴四边形AOEM是平行四边形，
　　∴AM∥OE．　　　　　　　　　　2分
　　∵平面BDE， 平面BDE，
　　∴AM∥平面BDE．　　　　　　　4分
　　(2)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，
　　∵AB⊥AF， AB⊥AD，
　　∴AB⊥平面ADF，
　　∴AS是BS在平面ADF上的射影，
　　由三垂线定理得BS⊥DF．
　　∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分
　 在RtΔASB中，，∴
　 ∴二面角A—DF—B的大小为60º．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

(3)设CP＝t (0≤t≤2)，作PQ⊥AB于Q，则PQ∥BC，
　　∴∠FPQ是PF与BC所成的角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分
　　∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，∴PQ⊥平面ABF，∴PQ⊥QF．
　　在RtΔPQF中，∠FPQ＝60º，∴PF＝2PQ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分
　　∵ΔPAQ为等腰直角三角形，∴
　　又∵ΔPAF为直角三角形，∴，
　　∴，所以t＝1或t＝3(舍去)
　　即点P是AC的中点．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分

方法二：(1)同方法一．

(2)以为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则
　　A(，，0)，B(0，,0)，D(，0，0)，E(0，0，1)，F(，，1)，M
　　∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD＝A，
　　∴AB⊥平面ADF．
　　∴为平面DAF的法向量．　　　　　　　　　　　　　　　 6分
　　设平面BDF的法向量为n＝(x，y，1)，则
　　，即，解得x＝y＝
　　 ∴n＝(，，1)
　　 ∴cos<，n>＝，∴与n的夹角是60º．
　　 即所求二面角A—DF—B的大小是60º．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

(3)设P(t，t，0) (0≤t≤)，则，，0，0)
　　∵PF和CD所成的角是60º．
　　∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分
　　解得或（舍去），即点P是AC的中点．　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分