2005年高考各地模拟试题精选——立体几何解答题

1.【2005年山东省临沂市数学模拟试题（文史类）】

　　如图所示，和都是等腰直角三角形，且它们所在的平面互相垂直，

　　（I）求异面直线AD、BC所成的角。

　　（II）设P是线段AB上的动点，问P、B两点间的距离多少时？与所在平面成角；

　　1.解：（I）

　　异面直线AD、BC所成角为。　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

　　（II）过点P作于E，过点E作于F，连结PF。

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

　　。

　　设，则在中，，

　　

　　在中，

　　在中，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11分

即P、B两点间距离为时，与所在平面成角。　 12分

2.【哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2005年高三第二次联合考试数学试卷（理科）】

　　已知直三棱柱中，，AB=BC=a，，M为上的点。

　　（1）当M在上的什么位置时，与平面所成的角为；

　　（2）在（1）的条件下求B到平面的距离。

2. 解：（1）取

　　

　　…………3分

　　

　　

　　

　　（2）取

　　

　　

　　的距离，由，则B到面的距离为K到面的距离的2倍　　…………9分

　　

　　

　　另法一：利用体积相等，

　　另法二：可利用面

3．【哈尔滨三中东北育才大连育明 天津耀华2005年四校高考模拟联考】

如图已知四棱锥P—ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠A=90°且AB//CD，AB=CD.

（I）点F在线段PC上运动，且设为何值时，BF//平面PAD？并证明你的结论；

（Ⅱ）二面角F—CD—B为45°，求二面角B—PC—D的大小；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若AD=2，CD=3，求点A到平面PBC的距离.

3．解：（1）当　 （1分）

证明：取PD中点E，则EF//CD，且

∴四边形ABFE为平行四边形.　 （3分）

∴BF//AE. 又AE平面PAD　∴BF//平面PAD　 （4分）

（2）平面ABCD，即是二面角的平

面角　（5分）

为等腰直角三角形，

平面PCD　又BF//AE，平面PCD. 平面PBC，

∴平面PCD⊥平面PBC，即二面角B—PC—D的大小为90°.　 （8分）

（3）在平面PCD内作EH⊥PC于点H，由平面PCD⊥平面PBC且平面PCD

平面PBC=PC知：EH⊥平面PBC.　 （9分）

在，

在代入得：

即点E到平面PBC的距离为　 （11分）

又点A到平面PBC的距离为（12分）

4．【北 京 四 中2005年数学第一次统测（理科）】
　　如图，分别是正方体的棱上的点.
　　（1）若，求证：无论点在上如何移动，总有；
　　（２）若，且平面，求二面角的大小.

　　4.（I）证法一：连AC、BD，则BD⊥AC，
　　∵， ∴MN//AC，∴BD⊥MN.
　　又∵DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥MN，
　　∴MN⊥平面BDD1.
　　∵无论点P在DD1上如何移动，总有BP平面BDD1，
　　故总有MN⊥BP.

　　证法二：连结AC、BD，则AC⊥BD.
　　∵， ∴MN//AC，∴ MN⊥BD，又PD⊥平面ABCD，
　　由三垂线定理得：MN⊥PB.

　　（II）解法一：过P作PG⊥C1C交CC1于G，连BG交B1N于O1，
　　∵PB⊥平面B1MN， ∴PB⊥B1N.
　　又∵PG⊥平面B1BCC1， ∴ BG⊥B1N，∴ΔBB1N≌ΔBCG， ∴ BN=CG，NC=GC1，
　　∴BN∶NC=DP∶PD1=2∶1.
　　同理BM∶MA=DP∶PD1=2∶1.
　　设AB=3a, 则BN=2a, ∴,
　　,
　　连MO1，∵AB⊥平面B1BCC1， ∴ MO1⊥B1N，
　　∵∠MO1B就是二面角M-B1N-B的平面角，
　　，∴ .

　　解法二：设BD与MN相交于F，连结B1F，
　　∵PB⊥平面MNB1， ∴ PB⊥B1F，PB⊥MN，
　　∴在对角面BB1D1D内，ΔPBD∽ΔBB1F，
　　设BB1=DD1=3，则PD=2，，∴， 即，故.
　　∵MN⊥PB，由三垂线定理得MN⊥BD，MN//AC，MN=2BF=， BN=2，
　　.
　　设二面角B-B1N-M的平面角为α，则，
　　.

5．【2005年高考重庆地区信息试卷数学试题】

　　　已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，

∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且

　 （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

　 （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

5．（1）∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD，∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC.　3分

　　　　又∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,

　　　　∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.　　　　　　　　　　　　　　 6分

（2）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，

∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.　 8分　　 ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，

∴　 10分

由AB²=AE·AC 得　　 

故当时，平面BEF⊥平面ACD.　　　12分

19．湖北省部分重点中学2005年春季期中联考

如图，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，　　

　  PA＝AD＝a，AB＝a，E是线段PD上的点，F是线段AB

　  上的点，且．

　  (I)当时，求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值：

(Ⅱ)是否存在实数λ，使异面直线EF与CD所成角为

60°?若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明

理由．

5.（1）　　　

　 (2)存在实数λ，其值为