2006年湖南省望城五中高二数学竞赛试题

姓名　　　　　   记分　　　　 

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知A={xx+1≥0}，B={yy²－2>0}，全集I=R，则A∩C_I B为（　　）

A.{xx≥或x≤－}　　　　　　　　　　　　　　　B.{xx≥－1或x≤}

C.{x－1≤x≤}　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.{x－≤x≤－1}

2.不等式log(x－1)>－1的解集为（　　）

A.{xx>4} 　　　B.{xx<4}　　　　C.{x1<x<4}　　　　　　　　D.{x1<x<}

3.在以下关于向量的命题中，不正确的是（　　　）

A.若向量=(x，y)，向量=(－y，x)(x、y≠0)，则⊥

B.四边形ABCD是菱形的充要条件是=，且=

C.点G是△ABC的重心，则++=

D.△ABC中，和的夹角等于180°－A

4.已知等比数列{}的前n项和，则…等于（ 　）

　　A．　B．　　C．　　D．

5.已知数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，公比q≠1，那么（　　）

A.a₃²+a₇²>a₄²+a₆²B.a₃²+a₇²<a₄²+a₆²　　C.a₃²+a₇²=a₄²+a₆²D.大小不确定

6.圆截直线x-y-5＝0所得弦长等于（　）

　　A．　　　　 B．　　　  　C．1　　　  　D．5

7.函数y=f(x+1)与y=f(1－x)的图象关于(　　)

A.y轴对称　　 B.原点对称　C.直线x=1对称　　 D.关于y轴对称且关于直线x=1对称

8.某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，欲求不同安排方案的种数，现有四位同学分别给出下列四个结果：①；②；③；④．其中正确的结论是（　）

　　A．仅有①　　B．仅有②　　C．②和③　　　D．仅有③

9.将函数y＝2x的图像按向量平移后得到函数y＝2x＋6的图像，给出以下四个命题：①的坐标可以是（-3.0）；②的坐标可以是（0，6）；③的坐标可以是（-3，0）或（0，6）；④的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是（　）

A．1　　　　　 B．2　　　　　　C．3　　　　　 D．4

10.函数f(x)=，如果方程f(x)=a有且只有一个实根，那么a满足(　 )

A.a<0　　　　　　 B.0≤a<1　　　　　　　　　　　C.a=1　　　　　　　　　　　　　 D.a>1

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

11.北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望学校，每所小学至少得到2台，不同送法的种数共有__________种.

12.已知f(x)=log₃x，当0<a<2时，有f(a)>f(2)，则a的取值范围是__________.

13.已知无穷等比数列首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围为__________.

14.设有四个条件：①平面γ与平面α、β所成的锐二面角相等；②直线a∥b，a⊥平面α，b⊥平面β；③a、b是异面直线，aα，bβ，且a∥β，b∥α；④平面α内距离为d的两条直线在平面β内的射影仍为两条距离为d的平行线.

其中能推出α∥β的条件有__________.(填写所有正确条件的代号)

三、解答题(本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分10分)△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边.

已知tanA+tanB+=tanA·tanB·，

(1)求∠C的大小；

(2)若c=，△ABC的面积S_△ABC=，求a+b的值.

16.(本小题满分10分)已知，都是非零向量，且+3与7－5垂直，－4与7－2垂直，求与的夹角.

17_.(本小题满分10分)已知曲线C：x²－y²=1及直线L：y=kx－1.

(1)若L与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；

(2)若L与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△OAB的面积为，求实数k的值.

18.(本小题满分10分)

如图，已知三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，PA=3，

AC=4，PB=PC=BC.

(1)求三棱锥P—ABC的体积V；

(2)作出点A到平面PBC的垂线段AE，并求AE的长；

(3)求二面角A—PC—B的大小.

19.(本小题满分15分)函数f(x)=log_a(x－3a)(a>0且a≠1)，当点P(x，y)是函数y=f(x)图象上的点时，Q(x－2a，－y)是函数y=g(x)图象上的点.

(1)写出函数y=g(x)的解析式；

(2)当x∈［a+2，a+3］时，恒有f(x)－g(x)≤1，试确定a的取值范围.

参　考　答　案

一、选择题:

1.解析：由已知得A={xx≥－1}，B={yy＞或y＜－，C_IB={y－≤y≤}，则A∩C_IB={x－1≤x≤}，选C.　 答案：C

2.解析：由已知得得1＜x＜4，选C.　 答案：C

3.解析：若点G是△ABC的重心，则有++=，而C的结论是

++=，显然是不成立的，选C.　 答案：C

4.：D

5.解析：取特殊数列验证：根据题意取数列1，2，4，8，16，32，64(q＞1)，易证a₃²+a₇²>a₄²+a₆²；取数列64，32，16，8，4，2，1(0＜q＜1＝，易证a₃²+a₇²>a₄²+a₆²，故选A.  答案：A

6.A

7.解析：根据对称关系验证D正确，选D.　 答案：D

8._.C

9.答案：D

10.解析：由图知a=1时，图象只有一个交点，故选C.　 答案：C

二、填空题:

11.解析：分为三种情况：①每所学校得3台电脑；②有两所学校各得2台电脑，一所学校得5台电脑；③有一所学校得2台电脑，一所学校得3台电脑，一所学校得4台电脑.

答案：10

12.解析：由f(a)＞f(2)，得log₃a＞log₃2. log₃a＞log₃2或log₃a＜－log₃2=log，

得a＞2或0＜a＜，又0＜a＜2，∴0＜a＜.答案：0＜a＜

13.解析：由已知S=，得q=.又－1＜q＜0得－1＜＜0.解之得1＜S＜2.

答案：1＜S＜2

14.解析：答案：②③

三、解答题:

15.解：(1)tanC=－tan(A+B) =－=－=.

∵0°＜C＜180°，∴C=60°.　　　　　　　　

(2)由c=及余弦定理，得a²+b²－2abcos60°=()².又由S_△ABC=absin60°=，

整理得∴(a+b)²=，即a+b=

16.解：∵a+3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，

∴(a+3b)·(7a－5b)=0，(a－4b)·(7a－2b) =0.　　　　　　　

即 　　　　　

两式相减：a·b=b²，代入①得a²=b².

∴cosα==.∴α=60°，即a与b的夹角为60°.　

17_.解：(1)曲线C与直线L有两个不同交点，则方程组有两个不同的解.

代入整理得：(1－k²)x²+2kx－2=0.　　此方程必有两个不等的实根x₁，x₂，

∴

解得－＜k＜且k≠±1时，曲线C与直线L有两个不同的交点.　　

(2)设交点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，直线L与y轴交于点D(0，－1)，

∴

∵S_△OAB=S_△OAD+S_△OBD=x₁+x₂=(x₁+x₂) (∵x₁x₂＜0=x₁－x₂=，

∴(x₁－x₂)²=(2)²，即()²+=8.解得k=0或k=±.

∵－＜k＜，

∴k=0或k=±时，△OAB面积为.

18.解：(1)∵PA⊥平面ABC，PB=PC，由射影定理得，AB=AC=4.

∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC.在Rt△PAC中，可求出PC=5，则PB=BC=5.

取BC中点D，连AD.在等腰△ABC中，求出底边上的高AD=.

∴V=··5··3=.　　　　　　　

(2)连PD，则PD⊥BC，又AD⊥BC，

∴BC⊥平面PAD.又BC平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC.

作AE⊥PD于E，则AE⊥平面PBC，AE为点A到平面PBC的垂线段.

在Rt △PAD中，由PA·AD=AE·PD，即3·=AE·，求出AE=.

(3)作AF⊥PC于F，连EF，由三垂线逆定理，得EF⊥PC.

∠AFE为二面角A—PC—B的平面角.

在Rt△PAC中，由PA·AC=PC·AF，

即3·4=5·AF，求出AF=，

∴sinAFE==·=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

即二面角A—PC—B为arcsin.

19.解：(1)设P(x₀，y₀)是y=f(x)图象上的点，Q(x，y)是y=g(x)图象上的点，则

∴∴－y=log_a(x+2a－3a).∴y=log_a(x＞a)，即y=g(x)=log_a(x＞a).

(2)∵　∴x＞3a.

∵f(x)与g(x)在［a+2，a+3］上有意义，∴3a＜a+2.∴0＜a＜1.

∵f(x)－g(x)≤1恒成立，∴log_a(x－3a)(x－a)≤1恒成立.

∴a≤(x－2a)²－a²≤.

对x∈［a+2，a+3］时恒成立，令h(x)=(x－2a)²－a²，其对称轴x=2a，2a＜2，2＜a+2，

∴当x∈［a+2，a+3］时，h(x)_min=h(a+2)，h(x)_max=h(a+3).

∴0＜a≤.