2005-2006省扬高中高二实验班数学期末试卷

一：选择题（每小题５分，共计60分）

1．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180 个、

150个销售点.公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一

个容量为100的样本,记这项调查为①：在丙地区中有20个特大型销焦点，

要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为，则完成①、

②这两项调查宜采用的抽样方法依次是　　　　　　　　　　　　【　　】

A．分层抽样，系统抽样法　　　 B．分层抽样法，简单随机抽样法

C．系统抽样法，分层抽样法　　　D．简随机抽样法，分层抽样法

2．下列函数中, 在区间上为减函数的是　　　　　　　　【　　】

A． 　　　　B． 　　　 

C． 　　　　　　 D．

3．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有　　　　　　　　　　　　　　　【　　】

(A)140种　　　(B)120种　　　  (C)35种　　　 (D)34种

4．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为：　　　　　　　【　　】

A　　　　　　B　　　　　C　　　　　　D　

5．在正方体中，为的中点，为底面的中心，为棱上任意一点，则直线与直线所成的角是　　　　【　　】

A．　　　　　　　　 B．　　  　　　C．　　　　　　 D．

6．从长度分别为1，2，3，4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m，则等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【　　】

A． 0　　 B． 　　 C． 　　　D．

7．已知是异面直线，给出下列四个命题：① 必存在平面，过且

与平行；② 必存在平面，过且与垂直；③ 必存在平面，与

都垂直；④ 必存在平面，与的距离相等.其中正确的结论是【　　】

A．①③　 B．②③　　 C．①④　　 D．②④

8．若展开式中的第5项是常数，则展开式中系数最大的项是

A． 第8项　B．第9项  C．第8项或第9项　D．第10项和第11项【　　】

9．若函数的图象可由函数的图象绕原点顺时针旋转90°得到, 则等于 【　　】

A．　　　  B．　　　 

C．　　　  D．

10．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象

如右图所示，则导函数y=f ¢(x)的图象可能为【　　】

　　

D．

　　

11．正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD所成角的大小为　　　　　　　　　　　　　　　　　　【　　】

A．30°　B．　C．60°D．

12． 图中多面体是经过正四棱柱底面顶点B

作截面A₁BC₁D₁而截得的, 且AA₁CC₁.

第12题图

已知截得面A₁BC₁D₁与底面ABCD成45°

的二面角, AB1, 则这个多面体的体积为 【　　】

A．　　　　 B． 　　　　 C．　　　　D．

二：填空题（每小题５分，共计30分）

13．函数f (x)=a^x (a>0且a¹1)在[1，2]中的最大值比最小值大，则a的值为　　　　　　　　　　　。

14．设…,则

…　　　　　　　　　　　　 。

15. 已知平面α和平面β交于直线，P是空间一点，PA⊥α，垂足为A，PB⊥β，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在β内的射影与点B在α内的射影重合，则点P到的距离为　　 　　　　　　

16．若曲线在点P处的切线平行于直线, 则点P的坐标为　　 　　　　　　  

17．某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长,其中至少有1名女生当选的概率是　　　　　　　　　  (用分数作答)

18．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9．他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：

①他第3次击中目标的概率是0.9；

②他恰好击中目标3次的概率是

③他至少击中目标1次的概率是

其中正确结论的序号是____________（写出所有正确结论的序号）．

三：解答题

19．（本小题满分11分）

经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：

排队人数	0—5	6—10	11—15	16—20	21—25	25人以上
概　　率	0.1	0.15	0.25	0.25	0.2	0.05

　　 （I）每天不超过20人排队结算的概率是多少？

　　 （Ⅱ）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？

　　　

20．（本小题满分12分）

在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.

（1）证明：AC⊥SB；

（2）求二面角N—CM—B的大小；

（3）求点B到平面CMN的距离.

21．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P－EFGH中，侧面PGH是边长为1的等边三角形，底面EFGH是菱形，∠GHE＝60⁰,平面PGH⊥平面EFGH

(1)求证：HG∥平面PEF

(2)求证：PE⊥GH

(3)求二面角P－EF－H的大小。

22．（本小题满分12分）

设aÎR，f (x)为奇函数，且f (2x)=。

（1）求a的值及f (x)的反函数f ^-1 (x)的解析式及其定义域；

（2）g(x)=，若xÎ时，f ^-1 (x)≤g(x)恒成立，求实数k的取值范围。

23．（本小题满分13分）

已知是定义在R上的函数，其图象交x轴于A，B，C三点，若点B的坐标为（2，0），且在和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．　　

（1）求c的值；　 

（2）在函数的图象上是否存在一点M（x₀，y₀），使得在点M的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；　 　 

（3）求的取值范围．

2005-2006省扬高中高二数学期末试卷答案

一：选择题

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	B	D	D	D	D	B	C	B	D	D	B	D

二：填空题

13．或；14．；15．； 16．(１，０)；17．；18．①、③；

三：解答题

19．【答案：】

解：（I）每天不超过20人排队结算的概率为：P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75，即不超过20

人排队结算的概率是0.75.……………………６分

（Ⅱ）每天超过15人排队结算的概率为：

0.25+0.2+0.05=，

一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为；

一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为；

一周7天中，有二天出现超过15人排队结算的概率为；

所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为：

，

所以，该商场需要增加结算窗口.………………12分

20．解：（1）取AC中点D，连结SD、DB.

∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，

∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，∴AC⊥SB

（2）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，

∴平面SDB⊥平面ABC.

过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，

过E作EF⊥CM于F，连结NF，

则NF⊥CM.

∴∠NFE为二面角N－CM－B的平面角

∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.

又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.

∵SN=NB，∴NE=SD===，

且ED=EB.在正△ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，

在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，

∴二面角N—CM—B的大小是arctan2

（3）在Rt△NEF中，NF==，

∴S_△CMN=CM·NF=，S_△CMB=BM·CM=2

设点B到平面CMN的距离为h，

∵V_B-CMN=V_N-CMB，NE⊥平面CMB，∴S_△CMN·h=S_△CMB·NE，

∴h==.即点B到平面CMN的距离为

21．答案：

∴PM⊥平面EFGH,ME为PE在平面EFGH内的射影

在菱形EFGH中，∠GHE＝60⁰,可知EM⊥HG

∴PE⊥GH

(1)　可证明：∠PEM是二面角P－EF－H的平面角，

在Rt△PEM中，PE=EM

∴∠PEM=45⁰(12’)

22．答案

解：(1)令t=2x，得f (x)=

∵f (x)是奇函数

∴f (x)=-f (-x)　　　　∴a=1　　　∴f (x)=　

∴f  ^-1(x)= (-1<x<1)………………６’

(2) ≤　对于xÎ恒成立

　 即　 对于xÎ恒成立

　由（1）得k²≤1-x²对于xÎ恒成立

　 ∴0<k≤　　　　　　　　　　　  …………………12’

23．答案

解：⑴ ∵在和上有相反单调性，

∴ x=0是的一个极值点，故，

即有一个解为x=0，∴c=0  …………4分

⑵ ∵交x轴于点B（2，0）

　 ∴

　 令，则

　 ∵在和上有相反的单调性

　 ∴， ∴……………6分

 假设存在点M（x₀，y₀），使得在点M的切线斜率为3b，则

　 即

　 ∵ △=

　 又， ∴△＜0

∴不存在点M（x₀，y₀），使得在点M的切线斜率为3b．…9分

⑶ 依题意可令

　　　　　 ………11分

∵，∴当时，；

当时，

故　　　　　　　　　　　　　　  ……………………14分