第六讲　与二次函数的相关的综合问题

[基本概念]

1．　二次函数的图象是以为对称轴的抛物线，顶点坐标为．

2．　二次如函数在一区间上的最值是通过图象来求得的，有时需要讨论对称轴是否在所给区间内．

3．　时，抛物线在轴上截得的线段长为：．

4．　当，时，图象与轴没有交点，都在轴上方，恒成立；
当，时，图象与轴没有交点，都在轴下方，恒成立．

[例题与练习]

1．　　 已知方程的两实根是，求的最小值．

2．　　 已知是实数，且，求的最大值与最小值．

3．　　 对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．

4．　　 已知在区间上的最大值是3，最小值为2，求实数的取值范围．

5．　　 已知函数的定义域是，值域是，求实数的值．

6．　　 若关于二次函数在区间[－1，1]内至少存在一点c，使求实数p的取值范围．

7．　　 为何值时，关于的一元二次方程：
⑴有两正根；　　　　　 ⑵两根异号．

8．　　 如果函数对任意实数都有，试判断，，的大小．

9．　　 已知，是二次函数，当时，的最小值是1，且是奇函数，求的表达式．

10． 已知函数是奇函数，又，，求的值。

11． 奇函数又是在R上的减函数，对任意实数，恒有成立，求的范围．

12． 设函数对任意，都有，若时，
＜0，且，
（1）求证为奇函数；
（2）在上否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由；
（3）*设，解关于的不等式．

13． *设函数，方程的两个实根为x₁，x₂，且x₂－x₁＞2．
（1）求证：x₁，x₂为方程f [ f（x）]= x的两个根；
（2）若四次方程f [ f（x）] = x的另两个根为x₃，x₄，且x₃ ＞ x₄，试判断x₁，x₂，x₃，x₄的大小．