49．共轭复数的性质、综合应用
一、典型例题
1．
已知z1=z2=z3=r≠0，求复数
的模。
2．
若z1,z2∈C，求证：z1
=1-z1z2成立的充分必要条件是z1、z2中至少有一个是1。
3．
设z是虚数，求证：
为纯虚数的充要条件是z=1。
4．
设复数z1和z2满足z1·
+
·z1+A·=0，其中A=
，求z1+A·z2+A的值。
5．
已知z1、z2∈C且A=z1·+
·z2，B=z1·+z2·，问A与B是否可以比较大小？若能，哪个较大？
6．
已知a、b、c∈R，求证：
。
7．
已知a、b、c∈R＋，求
的最小值。
8．
求值：① 
；②
。
9． n为何值时，x2n+1+(x+1)2n (n∈Z)能被x2+x+1整除？
10．
求S＝
的值。
11．
求和：
（n∈N）。
12．
证明：arctg
+ arctg
+ arctg
+ arctg
=
。
13． 求以A(1,0)、B(2,1)为两顶点的正三角形ABC顶点C的坐标。
14． 如图：P为半圆x2+y2=1(x≤1,y≥0)上一动点，Q(2,0)是x轴上一定点，⊿PQZ是以PZ为斜边的等腰直角三角形，问P点位于何处时，O、Z两点间的距离最大？并求此最大值。
15． 已知椭圆5x2+9y2=45的右焦点为F，Q是椭圆上任意一点，且⊿FPQ是等边三角形（F、
P、Q成逆时针方向排列），当点Q在这个椭圆上运动时，求点P的轨迹方程。
16．
如图：设长度为2的线段AB的两个端点A、B分别在x轴正半轴上和y轴正半轴上滑动，以AB为斜边作等直角⊿ABC，并使直角顶点C恒在第一象限内，试求⊿ABC的重心G的轨迹。