42．复数的基本概念

一、典型例题

1．  已知x=+ai (a∈R,a≥)，若z=x-x+(1-i)分别为实数、虚数、纯虚数和第二象限时，求实数a的取值范围。

2．  （1）复数，若z²+az+b=1+i，求实数a,b的值；

（2）已知a-1+2ai=-4+4i，求复数a；

（3）若复数满足,且＜argz<p，求实数a的取值范围。

3．  复数z和w满足：zw+2iz-2iw+1=0，①若-z=2i求z和w；②求证：若z=，则w-4i的值是一个常数，并求出这个常数。

4．  已知z₁,z₂∈C,z₁=10,z₂=6+8i且z₁·为纯虚数，求z₁。

5．  已知z₁=sin2q+icosq,z₂=cosq+isinq (0≤q≤p)，当q为何值时，① z₁=z₂；② z₁=。

6．  已知复数z满足：z³-1=0且z≠1，①求(z+1)⁴+z-1的值；②求1+z+z²+…+z⁹的值。

7．  M取何实数时，复数z=+(m²-2m-15)i是实数？是虚数？是纯虚数？

8．  实数m为何值时，复数z=4-3m-m²+(m²+4m)i所对应的点在：①虚轴上；②第二象限；③实轴的下方（不包括实轴）。

9．  判断下列例题是否正确，并说明理由：

①　　 z∈Cz≥0；

②　　 z=1z=±1；

③　　 z≤1-1≤z≤1；

④　　 z₁²+z₂²=0z₁=z₂=0；

⑤　　 z₁=z₂=0z₁=z₂=0；

⑥　　 z₁=z₂z₁=±z₂；

⑦　　 2+i>1+i；

10．　　　　　　  已知x+x=9-3i，求x。

11．　　　　　　  已知关于x的方程x²+(1+2i)x-(3m-1)i=0有实根，求纯虚数m的值。

12．　　　　　　  已知z=(m+3)+(2m+1)i (m≥0)，求z的最小值。

13．　　　　　　  向量对应的复数是-2+i，将向量向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到向量，分别写出向量、点和向量所对应的复数。