高二上学期期中考试数学试卷

（统编新教材）

 

考试范围：第九章 立体几何、第十章 第一节 分类计数原理与分步计数原理　

 时量：120分钟  权值：150分　 考试时间：　　　　　

一、选择题(把正确的答案填入答卷的表中，每小题5分，共计60分)

1．经过空间任意三点作平面（ 　　 ）

A．只有一个　　 B．可作二个　　 C．可作无数多个　　 D．只有一个或有无数多个

2．两条异面直线在同一平面中的射影是（　　 ）

A．两条相交直线　　　　　 B．两平行直线

C．两相交直线或平行直线　 D．两相交直线或平行直线或一点和一直线

3．经过正棱锥S-ABC的高SO的中点且平行于底面的截面面积为1，则底面△ABC的面积为(　　).

A.1　　 　　　　B.2　　 　　　　C. 　　　　  D.4

4．若＝（2，1，1）， =(﹣１，x，1)且⊥　，则x的值为( 　　)

 A．1　　　　　　B．-1　 　　　　C．2　　　　　　　D．0

5．若a =(2,﹣3,)，b=(1，0，0)，则=(　　 )

A．　　 　　 B．　　　 　　 C．　　　　　  D．

6．设三点A（1，1，0），B（1，0，1），C（0，1，1），则△ABC的形状为(　　 )

A．Rt△　　　　B．等边△　　　　  C．等腰△　　　　D．等腰Rt△

7．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一

　 个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是(　　 )

　　A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

8．已知A、B、C不共线，O为平面ABC外的一点，满足（　 ）的点M、A、B、C共面．

A．　　　　B．

C． 　 D．

9．如图,正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于(　　 )

(A)90°　　 (B)60°　 　(C)45°　　 (D)30°

10．已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中不正确的是　　　　（　　）

　　　A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α　　　　　　　 B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n

　　　 C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β　　　　　　 D．若m⊥α，，则α⊥β

11．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（ 　）
A．　　　　B．　　　　 C．6　　　　　　　 D．

12．在正三棱柱（　 ）

A．60°　　　　　　（B）．90°　　　　（C）．105°　　　　 （D）．75°

二、填空题（把正确的答案填入答卷的表中，每小题4分，共计16分）

13．已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC,OB⊥AC，

则OC与AB的夹角为_______.

14．如右图所示，用五种不同的颜色，给标有A、B、C、D、E的各部分涂色，每一部分只能涂一种颜色，且要求相邻部分所涂颜色不同，则不同的涂色方法共有_________种.

15．已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为　　　　　　  .

16．如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面

角, 则异面直线AD与BF所成角的余弦值是　　　　　　　

郴州市三中高二期中考试数学试卷答卷

题号	一	二	三						总分
			17	18	19	20	21	22
得分

第一、二大题答题表

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案
题号	13			14			15			16
答案

三、解答题(共计74分)

17．( 12分)如图，已知长方体的长宽都是4cm，高为2cm．

　　（1）求BC与，与，与所成角的余弦值；

　  （2）求与BC，与CD，与所成角的大小．

18．( 12分)若平面α内的直角△ABC的斜边AB=20,平面α外一点O到A、B、C三点距离都是25,

求：点O到平面的距离．

19．（12分）如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于

D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求: 二面角E-BD-C的度数。

20．（12分）已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC＝2.求：（1）点B到平面EFG的距离.（2）二面角C-EF-G的度数．

21．(13分)如图四面体S－ABC中，SA,SB,SC两两垂直, ∠SBA=45°, ∠SBC=60°，M为AB中点， (1) 求:AC与面SAB所成的角，(2) 求:SC与平面ABC所成角的正弦值．

22．(13分) 如图,在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,E、F分别是BB₁、CD的中点.

(Ⅰ)证明AD⊥D₁F;　(Ⅱ)求AE与D₁F所成的角;

(Ⅲ)证明面AED⊥面A₁FD₁;

郴州市三中高二2004年上学期期中考试数学试卷答案

一、选择题（每小题5分，共计60分)；二填空题（每小题4分，共计16分)

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	D	D	D	A	C	B	C	C	C	B	D	B
题号	13			14			15			16
答案	90°			720			3

三、解答题(共计74分)

17．( 12分)

解析：（1）；；

　　 （2）90°；90°；0°

18．（12分） 解：由斜线相等，射影相等知，O在底面的射影为△ABC的外心Q，

又△ABC为Rt△外心在斜边中点，故OQ===

19．（12分）

解法一:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.

又已知　　 SC⊥DE,BE∩DE＝E,

∴SC⊥面BDE,  ∴SC⊥BD.

又　∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上, ∴SA⊥BD.

而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.

　　∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,　∴BD⊥DE,BD⊥DC.

　　∴∠EDC是所求的二面角的平面角.

　　∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.

设SA＝a,

又因为AB⊥BC, 

　　 ∴∠ACS＝30°.

又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.

解法二:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.

又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE,　∴SC⊥BD.

由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面 ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.

　　∵DE面BDE,DC面BDC,　∴∠EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.

解法三:利用用向量求解：略

20．（12分） 解法一:

如图,连结EG、FG、EF、BD、AC.EF、BD分别交AC于H、O. 因为ABCD是正方形,E、F分别为AB和AD的中点,故EF∥BD,H为AO的中点.

BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与题设矛盾.

由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG,

所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离.

∵BD⊥AC　 ∴EF⊥HC.　 ∵GC⊥平面ABCD,　 ∴EF⊥GC,

∴EF⊥平面HCG.　 ∴平面EFG⊥平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线.

作OK⊥HG交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG,所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离.

解法二:利用用向量求解：略

21．(13分)解：①60°；

②解法一:连SM，CM， ∵∠SBA=45°　 ∴SM⊥AB, 又CS⊥AB,　∴AB⊥面CSM．

过S作CM的垂线SN，垂足为N，则SN⊥CM，SN⊥AB，∴SN⊥面ABC．

∠SCN为所求的线面角，设SB=1　则不难计算　CS=，SM=，CM=

sin∠SCM==.

解法二:利用用向量求解：略

22．(13分) 解法一:

(Ⅰ)∵AC₁是正方体,∴AD⊥面DC₁.  又D₁F面DC₁,　 ∴AD⊥D₁F.　　

(Ⅱ)取AB中点G,连结A₁G,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A₁D₁、AD平行且相等,所以GF、A₁D₁平行且相等,故GFD₁A₁是平行四边形,A₁G∥D₁F.

设A₁G与AE相交于点H,则∠AHA₁是AE与D₁F所成的角,因为E是BB₁的中点,所以Rt△A₁AG≌Rt△ABE,∠GA₁A=∠GAH，从而

∠AHA₁=90°,即直线AE与D₁F所成角为直角.

(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D₁F,由(Ⅱ)知AE⊥D₁F,又AD∩AE=A,所以D₁F⊥面AED.又因为D₁F面A₁FD₁,所以面AED⊥面A₁FD₁.　

(Ⅳ)连结GE,GD₁.　∵FG∥A₁D₁,∴FG∥面A₁ED₁, ∵AA₁=2,

面积S_△A1GE=S_□ABB1A1-2S_△A1AG--S_△GBE=

又

　

解法二:利用用向量求解

解析：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，1，0），E（2，2，1），A₁（2，0，2），D₁（0，0，2），

(I) ∵　,，得，∴　AD⊥D₁F;

(II)又，得

∴　AE与D₁F所成的角为90°

(III) 由题意：，

设平面AED的法向量为，设平面A₁FD₁的法向量为，

由　 

由  

得

∴　面AED⊥面A₁FD₁.

（Ⅳ）∵AA₁=2，，平面A₁FD₁的法向量为

 ， ∴E到平面A₁FD₁的距离，