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2004－2005学年度上学期
高中学生学科素质训练
高二数学同步测试（1）—不等式的性质
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．若
，且
，则下列不等式中一定成立的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．对于任意实数a、b、c、d，命题： （ ）
①
；
②
；
③
；
④
；
⑤
．
其中真命题的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．设 
成立的一个充要条件是 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D
．
5．已知
，且
，则
的最小值是
（ ）
A． 32 B．
C．
D．10
6．下列命题中，其正确的命题个数为 （ ） ①
的最小值是2 ；②
的最小值是2；③
的最小值是2；
④
的最小值是2；⑤
的最小值是2，
A．1 B．2 C．3 D．4
7．若a，b∈R+,下列不等式中正确的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
是正数，且
，则
的最小值是
（ ）
A．6 B．12 C．16 D．24
9．设x>0，y>0，xy= 4，则
取最小值时x的值为
（ ）
A．1 B．2 C．
D．
10．甲、乙两人同时从A地出发B地，甲在前一半路程用速度
，在后一半路程用速度
，乙在前一半时间用速度，在后一半时间用速度
，则两人中谁先到达
（ ）
A．甲 B．乙 C．两人同时 D．无法确定
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．若
，
，则2a－b的取值范围是
.
12．若x
R，则x2与x－1的大小关系是
.
13．函数
的最小值是_____________,这时x的值为____________.
14．已知
时，函数有最_______值是 .
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．已知
，
，
，
，试比较A、B、C的大小.（12分）
16．已知正数x、y满足
的最小值.
判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法．
（12分）
17．已知
（12分）
18．已知
.求证：
（1）
；
（2）
.（12分）
19．某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元．问这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用的最小值．（14分）
20．已知函数
在R上是增函数，
.
（1）求证：如果
；
（2）判断（1）中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论；
解不等式
.（14分）
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | D | B | A | C | B | D | C | C | B | B |
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．
12．
13．
14．
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．（12分）
[解析]：不妨设
，则
，
，
由此猜想
由得
，
得
，
得
，即得.
16．（12分）
[解析]：错误. 
等号当且仅当x=y时成立，又
等号当且仅当x=2y时成立，而①②的等号同时成立是不可能的.
正确解法：因为x >0，y>0，且x +2y=1，
，当且仅当
∴这时
.
17．（12分）
[解析] 
,
∴（1）当a>1时，a－1>0 ∴
上递增，∴
（2）当0<a<1时，a－1<0 ∴
上递减，∴
综上（1）（2）知：x>y.
18．（12分）
[证明]：（1）
，
,
,
,
,
,
,
，
（2）[解法1]由（1）知
又
．
[解法2]：首先易证
19．（14分）
[解析]设这台机器最佳使用年限是n年,则n年的保养、维修、更换易损零件的总费用为：
，
等号当且仅当
答：这台机器最佳使用年限是12年，年平均费用的最小值为1.55万元．
20．（14分）
（1）证明：当
（2）中命题的逆命题为：
①
①的逆否命题是：
②
仿（1）的证明可证②成立，又①与②互为逆否命题，故①成立，即（1）中命题的逆命题成立. 根据（2），所解不等式等价于
.