高二文科数学下学期期末试题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　2008.6

注意：本试卷满分150分，分为Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷的答案按要求写在答题纸上.

Ⅰ卷（满分50分）

一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分，每题只有一个正确答案，答案涂在答题卡上.

1. 已知α、β是两个不重合的平面，l、m是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分条件是 （　 ）　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．l⊥α，m⊥β且l∥ m　　　　　　　　　　　  B．lα，mβ且l∥m　　

C．lα，mβ且l∥β、m∥β　　　　　　　　 D．l∥α，m∥β且l∥ m

2. 集合中元素个数为（　 ）　　　　　　　　　　　　　　　　　 

A．2个　　　　　 B．3个　　　　　　　 C．4个　　　　　  D．5个

3. 若的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是（　 ）

A.5　　　　　　　 B.6　　　　　　　　　  C.7　　　　　　　 D.8

4. 将7名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为（　 ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．252　　　　　  B．112　　　　　　　  C．72　　　　　　 D．120

5. 一个盒子装有11只球，球上分别标有号码1，2，3，…，11，若随机取出6只球，它们号码之和是奇数的概率是（　 ）

A. 　　　B.　　　  C. 　　　　D.

6. 如图，在斜三棱柱中，，

则在平面上的射影必在（　 ）

A、内部　　 B、直线上　　　

C、直线上　　  D、直线上

7.已知函数的图象如右图所示（其中 是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（　 ）

8.如果∥，AB与AC是夹在平面与之间的两条线段，且，直线AB与平面所成的角为，那么线段AC长的取值范围是（　 ）

A、　B、  C、　D、

9. 若点P在曲线上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则角的取值范围是 （　 ）

A．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．

C．　　　　 　　　　　 　　　　 D．

10. 设在[m,n]上可导, 且, 则当时,有 (　　)

A. .　　　　　　  　　　　　　B.

C. .　　　　　  　 D.

Ⅱ卷（满分100分）

二、填空题 （本大题共4小题，每小题4分共16分）

11. 若能被25整除，则a的最小正数值是___________ .

12.已知曲线C：，直线，且直线与曲线C相切于点，则直线的方程____________ ,切点坐标__________ ..

13. 某种产品有3只次品和6只正品，每次取出一只测试，直到3只次品全部测出为止，求第三只次品在第6次测试时被发现的不同的测试情况有_________种.

14．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则

　　　 吨．

15. (1-x)(1+x+x)的展开式中x项的系数是__________,

各项系数和为__________

三、解答题：（本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16、（12分）如图，在长方体中，，，、分别为、的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面．　　　　　　 

17．（本小题满分12分）已知10件产品中有3件是次品.

　 （1）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；

　 （2）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？

18. （本小题满分12分）已知

(1)当时, 求证：在内是减函数;

(2)若在内有且只有一个极值点, 求a的取值范围

19．（本小题满分12分）省工商局于2007年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%，现有甲，乙，丙3人聚会，选用6瓶x饮料，并限定每人喝2瓶，求：

　 （1）甲喝2瓶合格的x饮料的概率；

　 （2）甲，乙，丙3人中只有1人喝2瓶不合格的x饮料的概率(精确到0.01)．

20.（本小题满分13分）如图，棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，

∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°.

　 （1）证明：BD⊥AA₁；

　 （2）求二面角D—A₁A—C的平面角的余弦值；

　 （3）在直线CC₁上是否存在点P，使BP//平面DA₁C₁？

若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由.

21．（本小题满分14分）设函数是奇函数，它的图象记为曲线C，是曲线C上的一点，以为切点与曲线C相切的直线方程是：．

（1）求函数的解析式；

（2）过与曲线C相切的直线除了外，还存在其它直线吗？如有，请再求出一条来，若没有请说明理由；

（3）是否存在这样的实数，使过点可以作三条直线与曲线C相切？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

08年高二下学期期末考试

参考答案

一、选择题：（本大题共10个小题；每小题5分，共50分.）

题 号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答 案	A	C	C	B	A	D	C	D	B	C

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）

11、4;　　　　　 12、;

13、7200；　　　14 、20　；　　 15、-6;0

三、解答题：（本大题共6小题，共75分.）

16、（本小题满分12分）

证明：侧面，侧面，

，……3分

在中，，则有，　

，，　　　　　　 ………6分

又平面．　　 …………………7分

（2）证明：连、，连交于，

，，

四边形是平行四边 ……10分

　　　 …………11分

又平面，平面，

平面．　…………14分

17、解：（1）任意取出3件产品作检验，全部是正品的概率为……3分

至少有一件是次品的概率为……………………6分

（2）设抽取n件产品作检验，则3件次品全部检验出的概率为…8分

由

整理得：，……………………10分

　 ∴当n=9或n=10时上式成立.…………11分

答：任意取出3件产品作检验，其中至少有1件是次品的概率为为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取9件产品作检验.………………12分

18、解: (1) ∵∴

∵, ∴

又∵二次函数的图象开口向上,∴在内, 故在内是减函数.

(2)设极值点为则

当时, ∵∴在内 在内

即在内是增函数, 在内是减函数.

当时在内有且只有一个极值点, 且是极大值点.

当时, 同理可知, 在内且只有一个极值点, 且是极小值点.

当时, 由(1)知在内没有极值点.

19、解⑴记“第一瓶x饮料合格”为事件A₁，“第二瓶x饮料合格”为事件A₂，A₁与A₂是相互独立事件，“甲喝2瓶x饮料都合格就是事件A_1，A­₂同时发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得：P(A₁·A₂)＝P(A₁)·P(A₂)＝0.8×0.8=0.64

答：甲喝2瓶x饮料都合格的概率为0.64………………………6分

⑵记“一人喝合格的2瓶x饮料”为事件A，三人喝6瓶x饮料且限定每人2瓶相当于3次独立重复试验.

根据n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式，3人喝6瓶x饮料只有1人喝2瓶不合格的概率：P₃(2)＝C₃²·0.64²×(1－0.64)^3－2＝3×0.64²×0.36=0.44

 20、（本小题满分13分）

．解：

连接BD交AC于O，则BD⊥AC，

连接A₁O

在△AA₁O中，AA₁=2，AO=1，

∠A₁AO=60°

∴A₁O²=AA₁²+AO²－2AA₁·Aocos60°=3

∴AO²+A₁O²=A₁²

∴A₁O⊥AO，由于平面AA₁C₁C⊥

平面ABCD，

所以A₁O⊥底面ABCD

∴以OB、OC、OA₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，－1，0），B（，0，0），C（0，1，0），

D（－，0，0），A₁（0，0，）……………………2分

（Ⅰ）由于,

则

∴BD⊥AA₁……………………4分

　（Ⅱ）由于OB⊥平面AA₁C₁C

∴平面AA₁C₁C的法向量,设⊥平面AA₁D

则

得到……………………6分

所以二面角D—A₁A—C的平面角的余弦值是…………8分

（Ⅲ）假设在直线CC₁上存在点P，使BP//平面DA₁C₁

设

则

得……………………9分

设

则设

得到………………10分

又因为平面DA₁C₁

则·

即点P在C₁C的延长线上且使C₁C=CP　 …………………12分

法二：在A₁作A₁O⊥AC于点O，由于平面AA₁C_­1C⊥平面

ABCD，由面面垂直的性质定理知，A₁O⊥平面ABCD，

又底面为菱形，所以AC⊥BD

……………………4分

（Ⅱ）在△AA₁O中，A₁A=2，∠A₁AO=60°

∴AO=AA₁·cos60°=1

所以O是AC的中点，由于底面ABCD

为菱形，所以O也是BD中点.

由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA₁C

过O作OE⊥AA₁于E点，连接OE，

则AA₁⊥DE,

则∠DEO为二面角D—AA₁—C的平面角　……………………6分

在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°

∴AC=AB=BC=2

∴AO=1，DO=

在Rt△AEO中，OE=OA·sin∠EAO=

DE=

∴cos∠DEO=

∴二面角D—A₁A—C的平面角的余弦值是……………8分

（Ⅲ）存在这样的点P

连接B₁C，因为A₁B₁AB_DC

∴四边形A₁B₁CD为平行四边形.∴A₁D//B₁C

在C₁C的延长线上取点P，使C₁C=CP，连接BP………10分

因B_­1­BCC₁，……………………12分

∴BB₁CP, ∴四边形BB₁CP为平行四边形

则BP//B₁C，∴BP//A₁D，∴BP//平面DA₁C₁

21．解：（1），

由是奇函数知对一切实数恒成立，从而.

∴　，

点P在上则有，，即，

又，，

解得，，

所以　，.

（2）设存在其它切线过点P，并设并且.

则，即，

即，（舍去），或，

切点为，可得切线方程为.

（3）同（2），切点为，则有

则，即，，

，

三条直线与曲线C相切，则函数必有三个不同的零点，

也即的极大值为正，极小值为负.

由知，即，，

即存在使过点可以作三条直线与曲线C相切.