高二文科数学第二学期抽考考试

高二（文科）数学试题

本试卷共150分，120分钟完成，答案写在答题卷上。

第Ⅰ卷

一、　　　　　 选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1. 若集合，，则＝（　　　）

　 A. [－2，3]　　　　　　　　　　　  B. [－2，0]　　　　

C. [0，2]　　　　　　　　　　　 　 D. （0，2）

2．若复数是实数（是虚数单位，是实数），则（　　）

A．　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　C．　　　　　 　　　　　 D．2

3. 已知点在第三象限, 则角的终边在(　　).

A. 第一象限　　　　　 B. 第二象限　　 C. 第三象限　　 　　D. 第四象限

4．已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（　　）

A．3　　　　　　　　　B．2 　　　　　 C．1 　　　　　　　D．

5. 设向量与的夹角为，=（2，1），3+=（5，4），则= (　　)　 

.　　  　　　　　 . 　　　　　 .　　 　　  .

6． 下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是（　 ）

Ａ． 　　　　 Ｂ．　　　　 　Ｃ． 　　　　　 Ｄ．

7．函数（其中为自然对数的底数）的零点所在的区间是（　 ）

A．　　　　　  　B．　 　　 C．　　　　 D．

8.如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，

那么几何体的侧面积为 （　 ）

　 A. 　　　 B.　　　　C. 　　　 D.

9．奇函数在上是减函数，常数满足且，则下列式子正确的是（　 ）

　　 　 D、

10．过双曲线一焦点且垂直于双曲线实轴的直线交双曲线于A、B两点，若以AB为直径的圆恰过双曲线的一个顶点，则双曲线的离心率是（ 　 ）

　　　 A．　　　　 　　B．3　　　　　　 　　 C．　　　　　　　　　　　  D．2

第Ⅱ卷

二、填空题(每小题5分，满分20分．)

11．统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样

本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为

及格，不低于80分为优秀，则及格人数是 　　　；

优秀率为　　 　　　。

12．函数的定义域是　　　　  。

13.下面框图表示的程序所输出的结果是　　　　  。

　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

14. 已知是定义在R上的函数，且对任意，都有：，又则 　　　　　。

三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

15．(本小题满分12分)

已知函数().

(Ⅰ)求函数的最小正周期;

(Ⅱ)求函数 的最大值、最小值和相应的x值.

16．（本小题满分14分）

有朋自远方来，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是．

(Ⅰ)求他乘火车或飞机来的概率；

(Ⅱ)求他不乘轮船来的概率；

（Ⅲ)如果他来的概率为，请问他有可能是乘何种交通工具来的？

17．（本小题满分14分）

如图（1）是一正方体的表面展开图，和是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将和画出来，并就这个正方体解决下面问题。

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面；

18．（本小题满分14分）

设函数 （a、b、c、d∈R）满足： 都有，且x=1时，取极小值

　 (Ⅰ)的解析式；

 (Ⅱ)当时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直；

19．（本小题满分14分）

 

如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于的直线在轴上的截距为，交椭圆于A、B两个不同点。

　  (Ⅰ) 求椭圆的方程；

　　(Ⅱ) 求的取值范围；

　 （Ⅲ）求证直线、与轴始终围成一个等腰三角形.

20． (本题满分12分)

已知数列的前项和和通项满足。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

(Ⅱ) 求证：；

（Ⅲ）设函数，，求.

　　 

高二（文科）数学试题参考答案

一、　　　　　 选择题(5’×10=50’)

CABBD　 CBABD

二、填空题（5’×4=20’）

11、800　　20%　　12、　　 13、1320　　　14、

三、解答题：

15. 解：(Ⅰ) .　… 4分

函数的最小正周期为2.　　　　　　　　　　　　　　　  …… 6分

(Ⅱ)当时，函数的最大值为2.

此时，即　　　　　  …… 9分

当时，函数的最小值为－2，

此时.　 即 　　　　…… 12分

16、解：设“朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来”分别为事件，则，

，，，且事件之间是互斥的．

(Ⅰ)他乘火车或飞机来的概率为………5分

(Ⅱ)他乘轮船来的概率是，

所以他不乘轮船来的概率为． ………………10分　

（Ⅲ)由于，

所以他可能是乘飞机来也可能是乘火车或汽车来的． …………………14分

17．解：MN和PB的位置如右图示：（正确标出给1分）

（Ⅰ）∵ND∥MB 且ND＝MB

　　

 ∴四边形NDBM为平行四边形

　   

 ∴MN∥DB------------------------------3分

∵平面PDB,平面PDB

∴MN∥平面PBD----------------------6分

（Ⅱ）∵平面ABCD，平面，∴----------8分

　

 又∵　 ∴平面,---------------------10分

面 ∴,同理可得,∵

∴面PDB-----------------------------12分

18、解：（I）因为，成立，所以：，

由： ，得　，

由：，得

解之得： 从而，函数解析式为：　…………7分

（2）由于，，设：任意两数 是函数图像上两点的横坐标，则这

两点的切线的斜率分别是： …………9分

　

　 又因为：，所以，，得：………12分

知：　 　………………………………………………………………………13分

故，当　是函数图像上任意两点的切线不可能垂直…………………14分

19、解：（1）设椭圆方程为………………………1分

则………………………………………………3分

∴椭圆方程为…………………………………………………………4分

（2）∵直线l平行于，且在轴上的截距为，又

……………………………………………………5分

由……………………………………6分

∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

（3）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只需证明k₁+k₂=0即可…………9分

设……………………10分

则

由

……………………………………………………10分

而

故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.……………………14分

20．解：（Ⅰ）当时

，

∴，---------------------4分

由得

∴数列是首项、公比为的等比数列，∴----6分

(Ⅱ)证法1：  由得--------------------8分

，∴

∴-------------------------10分

〔证法2：由（Ⅰ）知，

∴--------------------------------8分

，∴--------------------9分

即--------------------------------10分〕

(Ⅲ)

　　　　 ＝

＝-------------------12分

∵

 ∴＝-----14分