2004－2005学年度上学期

高中学生学科素质训练

高二数学同步测试（2）—不等式的证明

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

A．　　　　　B．　　　　C． 　　　D．

2．综合法证明不等式中所说的“由因导果”是指寻求使不等式成立的　　　　　　　　　 （　　　）

A．必要条件　　　　　　　B．充分条件　　　　　　C．充要条件　　　　　　D．必要或充分条件

3．在①， ② ③，

其中正确的个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　（　　）

A．0　　　　　　 　B．1　　　　　　　　　　　　C．2　　　　　　　　　　　　D．3

4．下列函数中最小值是2的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　A．　　　　　　　　　  　　　B．

C．　　　　　　　  　　　　　D．×

5．设，则x，y的大小是　　　　　  　　　　　　　　　　（　　　）

A．x>y　　　　　　　　　　 B．x=y　　　　　　　　　　 C．x<y　　　　　　　D．与m，n的取值有关

6．已知a、b、m是正实数，则不等式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　　）

A．当a< b时成立　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．当a> b时成立　　　　　　　　　　　　　　

C．是否成立与m有关　　　　　　　　　　　　　　 D．一定成立

7．函数有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

A．最大值是2　　　B．最小值是2　　　　　　 C．最大值是－2　　　 D．最小值是2

8．如果为不相等的非零实数，那么的值是　　　　　　　　　　　  （　　）

A．大于2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．小于或大于2　　　　　　　　　　　　

C．小于等于2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．大于或小于2

9．在中，a,b,c分别是所对应的边，，则的取值范围是（　　）

　　A．（1,2）　　　　　　　 B．　　　 　　C．　 　　　　　 D．

10．设的最值情况是　　　 （　　）

A．有最大值2，最小值　　　　　　 B．有最大值2，最小值0

C．有最大值10，最小值　　　　　  D．最值不存在

二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

11．若a、b、c、d∈R，且有，，则abcd的取值范围是 _______．

12．若，则函数的最小值是　　________.

13．若的大小关系是________________________．

14．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以公里／小时的速度匀速直达灾区，已知某市到灾区公路线长400公里，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于公里，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是________________小时．（车身长不计）

三、解答题（本大题共6题，共76分）

15．求证：．（12分）

16．已知A =, B = x + 1, 当x ≠ 1时，试比较A与B的大小, 并说明你的理由.（12分）

17．已知a,b,c,d∈R,求证: ac+bd≤．（12分）

18．已知a，b，，且a+b+c=1，求证：_．（12分）

19．某种商品原来定价每件元，每月将卖出n件.假若定价上涨

，每月卖出数量将减少y成，而售货金额变成原来的z倍．

（1）若

（2）若 ，求使售货金额比原来有所增加的的取值范围．（14分）

20．已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较的大小．（14分）

参考答案

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案	A	B	C	D	A	A	C	B	C	A

二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

11．　　 12． 　　　　　13．　　　 14．12

三、解答题（本大题共6题，共76分）

15．（12分）

[证明]：要证．

　　　 ，上式显然成立，以上推理可逆　　

16．（12分）

[解析]　A – B = =，

　 由 > 0得x < – 1或1 < x < 2

　 ∴ 当x < – 1或1 < x < 2时, A > B；　 当 – 1< x < 1或x > 2时, A < B；

　　　当x = – 1或x = 2时, A = B．

17．（12分）

[证法1]:(a²+b²)(c²+d²)=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²=(a²c²+2abcd+b²d²)+(b²c²－2abcd+a²d²)

=(ac+bd)²+(bc－ad)²≥(ac+bd)²　

∴≥ac+bd≥ac+bd. 故命题得证.

　　[证法2]:∵(a²+b²)(c²+d²)－(ac+bd)²=(bc－ad)²≥0,∴(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)²

∴≥ac+bd≥ac+bd,即ac+bd≤.

18．（12分）

[证法1]：∵a，b，∴_。，∴

又∵a+b+c=1，∴

∴

[证法]2：欲证原式成立只须证：

即：

∵a+b+c=1，

∵_{，　 ，}

∴

以上推理可逆∴原不等式成立．

19．（14分）

[解析]：该商品定价上涨成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是

因而有：

 ，

 ，当且仅当10a+ax=10－ax,即

时成立．．

（2）

20．（14分）

[解1 ]：

　，∴0 < 1 - x² < 1,　　 

∴　　 ∴．

[解2 ]：

　 ∵0 < 1 - x² < 1,　1 + x > 1,　∴

　　∴　 ∴．

[解3 ]：∵0 < x < 1,　∴0 < 1 - x < 1,　1 < 1 + x < 2,

∴

　∴=

∵0 < 1 - x² < 1, 且0 < a < 1　∴

∴．