高二理科数学下学期期末试题

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　2008.6

注意：本试卷满分150分，分为Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷的答案按要求写在答题纸上.

Ⅰ卷（满分50分）

一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分，每题只有一个正确答案，答案涂在答题卡上.

1. 已知α、β是两个不重合的平面，l、m是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分条件是 （　 ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

A．l⊥α，m⊥β且l∥ m　　　　　　　　　　　  B．lα，mβ且l∥m　　

C．lα，mβ且l∥β、m∥β　　　　　　　　 D．l∥α，m∥β且l∥ m

2. 集合中元素个数为（　 ）　　　　　　　　　　　　　　　　　 

A．2个　　　　　 B．3个　　　　　　　 C．4个　　　　　  D．5个

3. 若的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是（　 ）

A.5　　　　　　　 B.6　　　　　　　　　  C.7　　　　　　　 D.8

4. 将7名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为（　 ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   

A．252　　　　　  B．112　　　　　　　  C．72　　　　　　 D．120

5. 一个盒子装有11只球，球上分别标有号码1，2，3，…，11，若随机取出6只球，它们号码之和是奇数的概率是（　 ）

A. 　　　　　 B.　　　　　　　  C. 　　　　　　 D.

6. 如图，在斜三棱柱中，，则在平面上的射影必在（　 ）

A、内部　　 B、直线上　　　

C、直线上　　　D、直线上

7.已知函数在点处存在极限，且，，则函数在点处的极限为（　 ）

A．－1或3　　　　 B．－1　　　　 C．7　　　　 D．－1或7

8.如果∥，AB与AC是夹在平面与之间的两条线段，且，直线AB与平面所成的角为，那么线段AC长的取值范围是（　 ）

A、　B、　C、　D、

9. 如果随机变量,则P等于（　 ）

A. 2Φ(１)－１　　　　　　 　　　　　　B. Φ(４)－Φ(2)　　

C. Φ(２)－Φ(４)　　　　　　　　　　  D. Φ(－４)－Φ(－２)

10. 2003年春季，我国部分地区流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制．下表是某同学记载的5月1日至5月12日每天北京市病患者治愈者数据，及根据这些数据绘制出的散点图．

日期	5.1	5.2	5.3	5.4	5.5	5.6
人数	100	109	115	118	121	134
日期	5.7	5.8	5.9	5.10	5.11	5.12
人数	141	152	168	175	186	203

下列说法：

①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系； ②若日期与人数具有线性相关关系，则相关系数与临界值应满足；　③根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系． 其中正确的个数为（　 ）

A．0个　　　　　　　　　 B．1个　　　　　　　　　 C．2个　　　　　　　　　 D．3个

Ⅱ卷（满分100分）

二、填空题 （本大题共4小题，每小题4分共16分）

11. 若能被25整除，则a的最小正数值是___________ .

12.设常数，展开式中的系数为，则__　　 __

13. 某种产品有3只次品和6只正品，每次取出一只测试，直到3只次品全部测出为止，求第三只次品在第6次测试时被发现的不同的测试情况有_________种.

14．已知函数在点处连续，则　　　

15.如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的

数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，……，记

这个数列前n项的和为S(n)，则S（16）等于　　　 .

三、解答题：（本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）如图，在长方体中，，，、分别为、的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面．　　　　　　 

17．（本小题满分12分）已知10件产品中有3件是次品.

　 （1）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；

　 （2）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？

18. （本小题满分12分）已知四棱锥的底面是正方形，侧棱的中点在底面上的射影正好落在底面正方形的中心点，而点在截面上的射影正好是的重心.

（I）求与底面所成角的正切值；

（II）　　　 求二面角的大小；

（Ⅲ）若，求点到平面的距离.

19．（本小题满分12分）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为,对乙项目每投资十万元, 取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量、分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.

(I)　求、的概率分布和数学期望、;

(II)　当时,求的取值范围.

20、（本小题满分13分）如图，棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，

∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°.

　 （1）证明：BD⊥AA₁；

　 （2）求二面角D—A₁A—C的平面角的余弦值；

　 （3）在直线CC₁上是否存在点P，使BP//平面DA₁C₁？

若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由.

21．（本小题满分14分）已知不等式，其中为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足

　 （Ⅰ）证明：

（Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；

（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有.

高二数学试题答题卡　

　姓名：　　　　　 　　　得分：　　　　　 　

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案

二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．　　　　　   　　　 12．　　　　　   　　　　

13．　　　　　   　　　 14．　　　　　   　　 15． 　　　　　   

三.解答题（本大题共6小题，共75分）

16.（本题满分12分）

17. （本题满分12分）

 

18．（本题满分12分）

19．（本题满分12分）

 

20．（本题满分13分）

 

21．（本题满分14分）

08年高二下学期期末考试

参考答案

一、选择题：（本大题共10个小题；每小题5分，共50分.）

题 号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答 案	A	C	C	B	A	D	C	D	B	C

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）

11、4;　 12、1; 　13、7200；　　14 、 -1 ； 15、 164；

三、解答题：（本大题共6小题，共75分.）

16、证明：侧面，侧面，

，………3分

在中，，则有，　

，，　

又平面． …………6分

（2）证明：连、，连交于，

，，

四边形是平行四边

　　 ………10分

又平面，平面，

平面．　……12分

17、解：（1）任意取出3件产品作检验，全部是正品的概率为

…………3分

至少有一件是次品的概率为…………6分

（2）设抽取n件产品作检验，则3件次品全部检验出的概率为………8分

由

整理得：，……………………10分

　 ∴当n=9或n=10时上式成立.…………11分

答：任意取出3件产品作检验，其中至少有1件是次品的概率为为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取9件产品作检验.………………12分

18、 (I) 设SC的中点为E，依题意：平面ABCD，又OE//SA，于是平面ABCD则为OS与底面ABCD所成的角――――――――2分

因为平面ABCD，所以，有，所以平面SAC， 于是平面SAC平面SBD. 因而点A在平面SBD上的射影点F必在OS上，即AF为的高且SF = 2OF于是，，从而

 所以――――――4分

（II）过B作，连DG， 则为二面角B—SC—D的平面角， 设，则 从而，，―――――6分

在中，

所以.二面角B—SC—D的大小为―――――8分

（III）设点C到平面SBD的距离为d由得

―――――――――――――10分

所以,故点C到平面SBD的距离为――――――12分

19、(I)解法1: 的概率分布为

	1.2	1.18	1.17
P

E=1.2+1.18+1.17=1.18.

由题设得,则的概率分布为

	0	1	2
P

故的概率分布为

	1.3	1.25	0.2
P

所以的数学期望为

E=++=.

解法2: 的概率分布为

	1.2	1.18	1.17
P

E=1.2+1.18+1.17=1.18.

设表示事件”第i次调整,价格下降”(i=1,2),则

P(=0)= ;

P(=1)=;

P(=2)=

故的概率分布为

	1.3	1.25	0.2
P

所以的数学期望为

E=++=.

(II)　由,得:

因0<p<1,所以时,p的取值范围是0<p<0.3.

 20、解：连接BD交AC于O，则BD⊥AC，

连接A₁O

在△AA₁O中，AA₁=2，AO=1，

∠A₁AO=60°

∴A₁O²=AA₁²+AO²－2AA₁·Aocos60°=3

∴AO²+A₁O²=A₁²

∴A₁O⊥AO，由于平面AA₁C₁C⊥

平面ABCD，

所以A₁O⊥底面ABCD

∴以OB、OC、OA₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，－1，0），B（，0，0），C（0，1，0），

D（－，0，0），A₁（0，0，）……………2分

（Ⅰ）由于,_,

则

∴BD⊥AA₁……………………4分

　（Ⅱ）由于OB⊥平面AA₁C₁C

∴平面AA₁C₁C的法向量

设⊥平面AA₁D

则

得到……………………6分

所以二面角D—A₁A—C的平面角的余弦值是……………8分

（Ⅲ）假设在直线CC₁上存在点P，使BP//平面DA₁C₁

设

则

得……………………9分

设

则设

得到……………………10分

又因为平面DA₁C₁

则·

即点P在C₁C的延长线上且使C₁C=CP……………………12分

法二：在A₁作A₁O⊥AC于点O，由于平面AA₁C_­1C⊥平面

ABCD，由面面垂直的性质定理知，A₁O⊥平面ABCD，

又底面为菱形，所以AC⊥BD

……………………4分

（Ⅱ）在△AA₁O中，A₁A=2，

∠A₁AO=60°∴AO=AA₁·cos60°=1

所以O是AC的中点，由于底面ABCD为菱形，

所以O也是BD中点

由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA₁C

过O作OE⊥AA₁于E点，连接OE，则AA₁⊥DE

则∠DEO为二面角D—AA₁—C的平面角

……………………6分

在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°

∴AC=AB=BC=2

∴AO=1，DO=

在Rt△AEO中，OE=OA·sin∠EAO=

DE=

∴cos∠DEO=

∴二面角D—A₁A—C的平面角的余弦值是……………8分

（Ⅲ）存在这样的点P

连接B₁C，因为A₁B₁AB_DC

∴四边形A₁B₁CD为平行四边形.

∴A₁D//B₁C

在C₁C的延长线上取点P，使C₁C=CP，连接BP…………10分

因B_­1­BCC₁，……………………12分

∴BB₁CP, ∴四边形BB₁CP为平行四边形

则BP//B₁C, ∴BP//A₁D, ∴BP//平面DA₁C₁

21．解：（Ⅰ）证法1：∵当

即　于是有　

所有不等式两边相加可得　

由已知不等式知，当n≥3时有，

∵

证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式

　 （i）当n=3 时，　由

知不等式成立.

（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即

则

即当n=k+1时，不等式也成立.

由（i）、（ii）知，

又由已知不等式得　

　 （Ⅱ）有极限，且

　 （Ⅲ）∵

则有

故取N=1024，可使当n>N时，都有