高二理科数学下期末测试卷
命题人：林永忠 审核人：林伟
一、选择题（60分）
1、已知复数
，则
（ ）
A、 2 B、－2 C、2i D、 －2i
2、已知数列
，那么“对任意的
，点
都在直线
上”是“ 为等差数列”的 （ ）
A、 充分而不必要条件 B、必要而不充分条件
C、 充要条件
D、既不充分也不必要条件
3、椭圆
的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1中点在y轴上，那么PF1是PF2的
（ ）
A、7倍 B、5倍 C、4倍 D、3倍
4、已知平面
与平面
相交，直线
，则
（
）
A、内必存在直线与
平行，且存在直线与垂直
B、内不一定存在直线与平行，不一定存在直线与垂直
C、内不一定存在直线与平行，但必存在直线与垂直
D、内必存在直线与平行，却不一定存在直线与垂直
5、甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是
，乙解决这个问题的概率是
，那么恰好有1人解决这个问题的概率是
（ ）
A、
B、
C、
D、
6、函数
，已知
在
时取得极值，则
= （ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
7、平行六面体
中，
为
与
的交点。若
，
，
, 则下列向量中与
相等的向量是
( )
A、
B、 
C、 
D、 
8、已知定点A、B且AB=4，动点P满足PA－PB=3，则PA的最小值是（ ）
A、
B、
C、
D、5
9、设两个正态分布
和
的密度函数图像如图所示。则有 （ ）
A、
B、
C、
D、
10、有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有 （ ）
A、240种 B、192种
C、96种 D、48种
11、如图，点P在正方形ABCD所在的平面外，
，则PA与BD
所成角的度数为 （ ）
A、30° B、45° C、60° D、90°
12、已知函数
，
[-2，2]表示的
曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：
① f(x)的解析式为：
，[-2，2]；
② f(x)的极值点有且仅有一个；
③ f(x)的最大值与最小值之和等于零；
其中正确的命题个数为 （ ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
二、填空题（16分）
13．抛物线
的准线方程为 .
14、在
的二项展开式中，
的系数是 （用数字作答）
15、某同学在电脑中打出如下若干个圈:
●○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前2008个圈中的●的个数是 ．
16、函数
在区间
上单调递增，那么实数a的取值范围是 。
三、解答题（74分）
17、已知命题p：关于
的不等式 
；
命题q：关于
的方程
有两个负根；
求实数a的取值范围，使“p或q”为真命题，“p且q”为假命题．
18、投掷飞碟的游戏中，飞碟投入红袋记2分，投入蓝袋记1分，未投入袋记0分，经过多次试验，某生投掷100个飞碟有50个入红袋，25个入蓝袋，其余不能入袋。
（1）记“飞碟投入红袋”，“飞碟投入蓝袋”，“飞碟不入袋”分别记
为事件A，B，C，求
；
（2）求该人在4次投掷中恰有三次投入红袋的概率。
（3）求该人两次投掷后得分
的数学期望。
19、如图，已知长方体
直线
与平面
所成的角为
，
垂直于
，
为
的中点.
（1）求平面
与平面
所成的
锐二面角的余弦值；
（2）求点
到平面的距离.
20、已知函数
，
（1）求函数的导数；
（2）设曲线
在点（1，f（1））处的切线为
，若与圆
相切，求a的值；
（3）若函数
在
上是增函数，求a的取值范围．
21、已知
定义在区间
上, 且
,
设
且
.
(1)求的值；
(2)求证:
(3)若
, 求证: 
.
22、已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点
为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线
对称．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线
与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线
经过M（－2，0）及AB的中点，求直线在
轴上的截距b的取值范围．
参考答案
1——12：AAACB；DACAB；CC。13、
；14、40；15、62；16、
。
17、解：对命题
：，由
，解得：
； …………2分
对命题
：由
，解得
． …………4分
要使p真q假，则
；
…………7分
要使p假q真，则
，
…………10分
综上所述，当
的范围是
。 ………………12分
18解：（1）、“飞碟投入红袋”，“飞碟投入蓝袋”，“飞碟不入袋”分别记
为事件A，B，C。
则由题意知：
…………3分
（2）因每次投掷飞碟为相互独立事件，故4次投掷中恰有三次投入红袋的概率为；
…………6分
（3）两次投掷得分的得分可取值为0，1，2，3，4则：
；
；
；
；
………………10分
…………12分
19解：在长方体
中，以
所在的直线为轴，以
所在的直线为轴，
所在的直线为
轴建立如图示空间直角坐标系
由已知可得
，
又
平面，从而与平面所成的角为
，又
，
，
从而易得
（1）易知平面的一个法向量
设
是平面的一个法向量，
， 由
即
所以
即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为
。 …………6分
（2）点到平面的距离，即
在平面的法向量
上的投影的绝对值，所以距离
=
，
所以点到平面的距离为
。
………………12分
20解：（1）
………………2分
（2）依题意有，， 过
点的直线的斜率为
，
所以，过
点的直线方程为
又已知圆圆心为（－1，0）半径为1，
依题意
，解之得
. ………………7分
（3）
在
上恒成立，
，，故
。
………………12分
21解: (1)由得＝－1 ………………2分
(2)∵
, 
∴
∵ ∴
∵
,∴
∴
∴
;
即
………………7分
另解：
，则
。
因为直线AB是曲线的一条割线，所以必存在一条切线与割线平行。
(3) ∵
且
……①
又
＝
……②
①＋②得: 
, ∴
………………12分
另解：
22解：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0∵该直线与圆
相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．故设双曲线C的方程为
．又双曲线C的一个焦点为
，∴
，
．
∴双曲线C的方程为:
.
………………5分
（2）由
得
．令
∵直线与双曲线左支交于两点，
等价于方程f(x)=0在
上有两个不等实根． ………………6分
因此
，解得
． ………………8分
又AB中点为
，
∴直线l的方程为：
． ……………… 10分
令x=0，得
． ………………12分
∵
，∴
，
∴
． ……………………14分