高二理科数学下期末测试卷
命题人:林永忠 审核人:林伟
一、选择题(60分)
1、已知复数,则
( )
A、 2 B、-2 C、2i D、 -2i
2、已知数列,那么“对任意的
,点
都在直线
上”是“
为等差数列”的 ( )
A、 充分而不必要条件 B、必要而不充分条件
C、 充要条件
D、既不充分也不必要条件
3、椭圆的焦点为F1和F2,点P在椭圆上,如果线段PF1中点在y轴上,那么PF1是PF2的
( )
A、7倍 B、5倍 C、4倍 D、3倍
4、已知平面与平面
相交,直线
,则
(
)
A、内必存在直线与
平行,且存在直线与
垂直
B、内不一定存在直线与
平行,不一定存在直线与
垂直
C、内不一定存在直线与
平行,但必存在直线与
垂直
D、内必存在直线与
平行,却不一定存在直线与
垂直
5、甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是,乙解决这个问题的概率是
,那么恰好有1人解决这个问题的概率是
( )
A、
B、
C、 D、
6、函数,已知
在
时取得极值,则
= ( )
A、2 B、3 C、4 D、5
7、平行六面体中,
为
与
的交点。若
,
,
, 则下列向量中与
相等的向量是
( )
A、 B、
C、
D、
8、已知定点A、B且AB=4,动点P满足PA-PB=3,则PA的最小值是( )
A、
B、
C、
D、5
9、设两个正态分布和
的密度函数图像如图所示。则有 ( )
A、 B、
C、 D、
10、有七名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两倍同学要站在一起,则不同的站法有 ( )
A、240种 B、192种
C、96种 D、48种
11、如图,点P在正方形ABCD所在的平面外,
,则PA与BD
所成角的度数为 ( )
A、30° B、45° C、60° D、90°
12、已知函数,
[-2,2]表示的
曲线过原点,且在x=±1处的切线斜率均为-1,有以下命题:
① f(x)的解析式为:,
[-2,2];
② f(x)的极值点有且仅有一个;
③ f(x)的最大值与最小值之和等于零;
其中正确的命题个数为 ( )
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
二、填空题(16分)
13.抛物线的准线方程为 .
14、在的二项展开式中,
的系数是 (用数字作答)
15、某同学在电脑中打出如下若干个圈:
●○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前2008个圈中的●的个数是 .
16、函数在区间
上单调递增,那么实数a的取值范围是 。
三、解答题(74分)
17、已知命题p:关于的不等式
;
命题q:关于的方程
有两个负根;
求实数a的取值范围,使“p或q”为真命题,“p且q”为假命题.
18、投掷飞碟的游戏中,飞碟投入红袋记2分,投入蓝袋记1分,未投入袋记0分,经过多次试验,某生投掷100个飞碟有50个入红袋,25个入蓝袋,其余不能入袋。
(1)记“飞碟投入红袋”,“飞碟投入蓝袋”,“飞碟不入袋”分别记
为事件A,B,C,求;
(2)求该人在4次投掷中恰有三次投入红袋的概率。
(3)求该人两次投掷后得分的数学期望。
19、如图,已知长方体
直线
与平面
所成的角为
,
垂直
于
,
为
的中点.
(1)求平面与平面
所成的
锐二面角的余弦值;
(2)求点到平面
的距离.
20、已知函数,
(1)求函数的导数;
(2)设曲线在点(1,f(1))处的切线为
,若
与圆
相切,求a的值;
(3)若函数在
上是增函数,求a的取值范围.
21、已知定义在区间
上, 且
,
设且
.
(1)求的值;
(2)求证:
(3)若, 求证:
.
22、已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点
为圆心,1为半径的圆相切,又知C的一个焦点与A关于直线
对称.
(1)求双曲线C的方程;
(2)设直线与双曲线C的左支交于A,B两点,另一直线
经过M(-2,0)及AB的中点,求直线
在
轴上的截距b的取值范围.
参考答案
1——12:AAACB;DACAB;CC。13、;14、40;15、62;16、
。
17、解:对命题:,由
,解得:
; …………2分
对命题:由
,解得
. …………4分
要使p真q假,则;
…………7分
要使p假q真,则,
…………10分
综上所述,当的范围是
。 ………………12分
18解:(1)、“飞碟投入红袋”,“飞碟投入蓝袋”,“飞碟不入袋”分别记
为事件A,B,C。
则由题意知: …………3分
(2)因每次投掷飞碟为相互独立事件,故4次投掷中恰有三次投入红袋的概率为;
…………6分
(3)两次投掷得分的得分可取值为0,1,2,3,4则:
;
;
;
;
………………10分
…………12分
19解:在长方体中,以
所在的直线为
轴,以
所在的直线为
轴,
所在的直线为
轴建立如图示空间直角坐标系
由已知可得
,
又平面
,从而
与平面
所成的角为
,又
,
,
从而易得
(1)易知平面的一个法向量
设
是平面
的一个法向量,
, 由
即
所以
即平面
与平面
所成的二面角的大小(锐角)为
。 …………6分
(2)点到平面
的距离,即
在平面
的法向量
上的投影的绝对值,所以距离
=
,
所以点到平面
的距离为
。
………………12分
20解:(1) ………………2分
(2)依题意有,, 过
点的直线的斜率为
,
所以,过点的直线方程为
又已知圆圆心为(-1,0)半径为1,
依题意,解之得
. ………………7分
(3)在
上恒成立,
,
,故
。
………………12分
21解: (1)由得
=-1 ………………2分
(2)∵,
∴
∵ ∴
∵,
∴
∴ ∴
;
即 ………………7分
另解:,则
。
因为直线AB是曲线的一条割线,所以必存在一条切线与割线平行。
(3) ∵且
……①
又=
……②
①+②得: , ∴
………………12分
另解:
22解:(1)设双曲线C的渐近线方程为y=kx,则kx-y=0∵该直线与圆相切,∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x.故设双曲线C的方程为
.又双曲线C的一个焦点为
,∴
,
.
∴双曲线C的方程为:.
………………5分
(2)由得
.令
∵直线与双曲线左支交于两点,
等价于方程f(x)=0在上有两个不等实根. ………………6分
因此,解得
. ………………8分
又AB中点为,
∴直线l的方程为:. ……………… 10分
令x=0,得. ………………12分
∵,∴
,
∴. ……………………14分