高二理科数学第一学期抽考考试

高二（理科）数学试题

本试卷共150分，120分钟完成，答案写在答题卷上。

第Ⅰ卷

一、　　　　　 选择题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1. 设函数的定义域为集合M，集合N＝，则（　　）．

A．　　  　　　 B．N　　　　　　 C．　 　　　D．M

2．若（i为虚数单位），则使的值可能是（　　）

A．0　　　　　　　　　 B．　　　　　　 　  C．　　　　　　　　　　D．

3．已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（　　）

A．3　　　　　　　　 B．2 　　　　　 C．1 　　　　　　　 D．

4. 设向量与的夹角为，=（2，1），3+=（5，4），则= (　　)　 

　　　　　　　　　　.　　  　　　　　 . 　　　　　.　　　　   .

5.函数（其中为自然对数的底数）的零点所在的区间是（　 ）

A．　　　　　  　B．　 　　 C．　　　　 D．

6.如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，

那么几何体的侧面积为（　　）

 A. 　　　 B.　　　　C. 　　　 D.

7．奇函数在上是减函数，常数满足且，则下列式子正确的是（　 ）

　　 　 D、

8．过双曲线一焦点且垂直于双曲线实轴的直线交双曲线于A、B两点，若以AB为直径的

圆恰过双曲线的一个顶点，则双曲线的离心率是（　　）

A．　　　　　　　　　　 B．3　　　　　　　　   C．　　　　　　 D．2

第Ⅱ卷

二、填空题(每小题5分，满分30分．)

9．统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样

本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为

及格，不低于80分为优秀，则及格人数是 　　　；

优秀率为 　　　　　 。

10．函数的定义域是　　　　　　 。

11．计算定积分 　　　　　 。

12．下面框图表示的程序所输出的结果是　 　　　　。

　　

　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

13. 已知是定义在上的函数，且对任意，都有：，又则 　　　　　 。

14. 若实数满足条件，则目标函数的最大值为　 　　　　。

三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

15．(本小题满分12分)

在△ABC中，、、是角所对的边，且满足．

(Ⅰ)求角的大小；

(Ⅱ)设，求的最小值.

16．（本小题满分14分）

一个盒子中装有标号为0，1，2，3，4，5的6张标签，随机地选取两张标签。

　 (Ⅰ) 求选出的两张标签的数字之和为5的概率；

　 (Ⅱ)如果用选出的两张标签的数字能组成一个两位数，求这个两位数能被5整除的概率。

17．（本小题满分14分）

已知：正方体，，为棱的中点．

(Ⅰ) 求证：；

(Ⅱ) 求证：平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积．

18．（本小题满分14分）

设函数 （a、b、c、d∈R）满足： 都有，且x=1时，取极小值

　 (Ⅰ)的解析式；

　 (Ⅱ)当时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直；

19．（本小题满分14分）

如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于的直线在轴上的截距为，交椭圆于A、B两个不同点。

　 (Ⅰ)求椭圆的方程；

　 (Ⅱ)求的取值范围，

　（Ⅲ）求证直线、与轴始终围成一个等腰三角形.

20． (本题满分12分)

已知数列的前项和和通项满足。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

(Ⅱ) 求证：；

（Ⅲ）设函数，，求.

高二（理科）数学试题参考答案

一、　　　　　 选择题(5’×8=40’)

DBBDB　　 ABD

二、填空题（5’×6=30’）

9、800　　20%　　10、　　11、　　12、1320　　13、　　14、2

三、解答题：

15. 解：(Ⅰ)∵，∴，　　 ………………3分

又∵，∴．　　……………………………………………5分

（Ⅱ）　　 ……………………………………………6分

，　………………………8分

∵，∴．　　 ……………10分

∴当时，取得最小值为．　 …………12分

16、解：（1）求两张标签数字之和的基本事件有：0-1.，0-2，0-3，0-4，0-5，1-2，1-3，1-4，1-5，2-3，2-4，2-5，3-4，3-5，4-5，共15种，　　　　（2分）

数字之和为5的基本事件有：0-5，1-4，2-3，共3种，（4分）

每个基本事件出现的概率相等．（5分）

　　所以： 　　　　　　　（6分）

　（2）任取两张标签能组成的两位数共有：十位是1的有：5个；十位是2的有：5个

十位是3的有：5个；十位是4的有：5个；十位是5的有：5个；总共25个。（8分）

能被5整除的有：个位是0的5个，个位是5的有4个总共9个， （9分）

每一个两位数出现的概率相等。　　　　　　　  （10分）

　所以：　　　　　　　　　　　　　 （11分）

答：选出的两张标签的数字之和为5的概率是，这个两位数能被5整除的概率是。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （12分）

17．解：(Ⅰ)证明：连结，则//，　 …………1分

∵是正方形，∴．∵面，∴．

又，∴面．　　………………4分

∵面，∴，

∴．　…………………………………………5分

（Ⅱ）证明：作的中点F，连结．

∵是的中点，∴，

∴四边形是平行四边形，∴ ． ………7分

∵是的中点，∴，

又，∴．

∴四边形是平行四边形，//，

∵，，

∴平面面．　…………………………………9分

又平面，∴面．　………………10分

（3）．　……………………………11分

．　……………………………14分

18、解：（I）因为，成立，所以：，

由： ，得　，

由：，得

解之得： 从而，函数解析式为：　…………7分

（2）由于，，设：任意两数 是函数图像上两点的横坐标，则这

两点的切线的斜率分别是： …………9分

　

　 又因为：，所以，，得：………12分

知：　 　………………………………………………………………………13分

故，当　是函数图像上任意两点的切线不可能垂直…………………14分

19、解：（1）设椭圆方程为………………………1分

则………………………………………………3分

∴椭圆方程为…………………………………………………………4分

（2）∵直线l平行于，且在轴上的截距为，又

……………………………………………………5分

由……………………………………6分

∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

（3）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只需证明k₁+k₂=0即可…………9分

设……………………10分

则

由

……………………………………………………10分

而

故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.……………………14分

20．解：（Ⅰ）当时

，

∴，---------------------4分

由得

∴数列是首项、公比为的等比数列，∴----6分

(Ⅱ)证法1：  由得--------------------8分

，∴

∴-------------------------10分

〔证法2：由（Ⅰ）知，

∴--------------------------------8分

，∴--------------------9分

即--------------------------------10分〕

(Ⅲ)

　　　　 ＝

＝-------------------12分

∵

 ∴＝-----14分