高三文科数学起点考试试卷

数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若，则下列选项正确的是　　　　　　　　 （　　）

A、0M　　　　　　　　　　　　B、{0}∈M　　　　　　　C、φ∈M　　　　　　　　D、{0}M

2．的值为　 （　　　）　　　

A、　　　　B、　　　　C、　　　　D、

3．由０，１，２，…，９这十个数组成无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于８的个数为（　　　　）　

Ａ、180　　 B、196　　C、210　　D、224　　　　　

4．已知某人每次投篮投中的概率为p，各次投篮结果互不影响，直至进行第n次投篮，才有r（1≤r≤n）次投中的概率为（　　　　）　　

A、　 B、　 C、　 D、　　　　

5．若把一个函数的图象按a平移后得到函数的图象，则函数的解析式为（　　　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A、　　　　　　　　　　　　B、

C、　　　　　　　  D、

6．以下是立体几何中关于线、面的四个命题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　（1）垂直于同一平面的两个平面平行

　（2）若异面直线a、b不垂直，则过a的任何一个平面与b均不垂直

　（3）垂直于同一平面的两条直线一定平行

　　（4）垂直于同一直线的两个平面一定平行

其中正确的命题有（　　　）个　

A、1　　　 B、2　　　 C、3　　　 D、4

7．设，则（　　　　）

A、　　　　B、　　　　C、　　　　D、

8．数列满足，，且，则等于（　　　）

Ａ、　　　Ｂ、　　Ｃ、　　Ｄ、　　

9．在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为，该组上的直方图的高为，则为（　　　　）　

A、　　　 B、　　Ｃ、　　　　Ｄ、

10．如右图所示，在单位正方体的面对角线

上存在一点使得最短，则的最小值

为（　　　　）　　　

A、2　 B、 　C、　　  D、　

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡相应的位置上。

11．若二项式的展开式的第五项是常数项，则此常数项为　　　

12．已知实数x、y满足，则的最大值是　　　　　  

13．某校有老师200人，男生学1200人，女学生1000人。现用分层抽样的方法

从所有师生中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，

则n=　 　　　　　

14．若直线l过定点且和抛物线有且仅有一个公共点，则直线l的方程是　　　　　　　　　  　　

15．底面边长为a正四棱锥S—ABCD内接于球O，过球心O的一个截面如图，则球O的表面积为　　　　 ；A、B的球面距离为　　　　 　

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．(本小题满分12分)

已知ΔABC中，的值。

17．(本小题满分12分)

等差数列{}的前n项和记为S_n.已知

（Ⅰ）求通项；

（Ⅱ）若S_n=242，求n.

18．(本小题满分12分)

有一块边长为6m的正方形钢板，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后焊接成一个无盖的蓄水池。

（Ⅰ）写出以x为自变量的容积V的函数解析式V(x)，并求函数V(x)的定义域；

（Ⅱ）指出函数V(x)的单调区间；

（Ⅲ）蓄水池的底边为多少时，蓄水池的容积最大？最大容积是多少？

19．(本小题满分12分)

如图，在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB，点E、M分别为A₁B、C₁C的中点，过点A₁，B，M三点的平面A₁BMN交C₁D₁于点N.

（Ⅰ）求证：EM∥平面A₁B₁C₁D₁；

（Ⅱ）求二面角B—A₁N—B₁的正切值.

20．(本小题满分13分)

已知函数的图像与函数的图象相切，记

（Ⅰ）求实数b的值及函数F（x）的极值；

（Ⅱ）若关于x的方程F（x）=k恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围.

21．(本小题满分14分)

已知抛物线、椭圆、双曲线都经过点M(1，2)，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。

（Ⅰ）求这三条曲线方程；

（Ⅱ）若定点P(3，0)，A为抛物线上任意一点，是否存在垂直于x轴的直线l被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。

武汉市部分重点中学2008——2009学年度新高三起点考试

数学答案（文科）

一、选择题

DBCBD　 CCDCD

二、填空题

11．1120  12．2　 13．192 　14．　 15．、

三、解答题

16．解：在ΔABC中，∵，

∴，∴　……（5分）

……（12分）

17．解：（Ⅰ）由得方程组

　……4分　解得　所以　……7分

（Ⅱ）由得方程

 ……10分 解得………12分

18．解：（Ⅰ）设蓄水池的底面边长为a，则a=6-2x,

则蓄水池的容积为：.　　　　　　

由得函数V(x)的定义域为x∈(0,3).　　　　　 ………4分

（Ⅱ）由得.

令，解得x<1或x>3;　　　　 

令，解得1<x<3.　　　　　　 

故函数V(x)的单调增区间是（0，1），单调减区间为（1，3）. ………8分

（Ⅲ）令，得x=1或x=3（舍）.

并求得V(1)=16.　 由V(x)的单调性知，16为V(x)的最大值.　　　　　　　　　

故蓄水池的底边为4m时，蓄水池的容积最大，其最大容积是.　 ………12分

19．解：Ⅰ）证明：取A₁B₁的中点F，连EF，C₁F 　∵E为A₁B中点　 ∴EF∥ BB₁

又∵M为CC₁中点 ∴EF∥ C₁M∴四边形EFC₁M为平行四边形　∴EM∥FC₁　

而EM 平面A₁B₁C₁D₁ . FC₁平面A₁B₁C₁D₁ .

∴EM∥平面A₁B₁C₁D₁………………6分

（Ⅱ）由⑴EM∥平面A₁B₁C₁D₁　

EM平面A₁BMN

平面A₁BMN∩平面A₁B₁C₁D₁=A₁N　

∴A₁N// EM// FC₁　 ∴N为C₁D₁ 中点

过B₁作B₁H⊥A₁N于H，连BH，

根据三垂线定理　BH⊥A₁N

∠BHB₁即为二面角B—A₁N—B₁的平面角……8分

设AA₁=a， 则AB=2a，　∵A₁B₁C₁D₁为正方形

∴A₁H=　　又∵△A₁B₁H∽△NA₁D₁

∴B₁H=，在Rt△BB₁H中，tan∠BHB₁=

即二面角B—A₁N—B₁的正切值为……12分　（空间向量按步骤给分）

20．解：（Ⅰ）依题意，令，得

列表如下：

				－1
	+	0	－	0	+
	↗	极大值	↘	极小值0	↗

从上表可知处取得极小值.　 ………7分

　 （Ⅱ）由（1）可知函数作函数的图象，当 的图象与函数的图象有三个交点时，关于x的方程

　　　　　　　　　 ………13分

21．解：（Ⅰ）设抛物线的方程为

∵M(1，2)在抛物线上，∴ 即p＝2

∴抛物线方程为，焦点为(1，0)　　　　　　　　　　 ………3分

∵椭圆、双曲线与共焦点，且对称轴为坐标轴，分别设其方程为

，

∵椭圆、双曲线都经过点M(1，2)

∴解得

∴椭圆与双曲线的方程分别为、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ………7分

（Ⅱ）设为抛物线上任意一点，则

又P(3，0)，以AP为直径的圆的半径

圆心B为AP中点，∴B，设直线l：x＝n，则圆心B到l的距离d=

则弦长u＝２＝

　　　　＝

当n＝２时，u为定值，∴满足题意的直线l存在，其方程为x＝２

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ………14分