耗用子弹数的分布列

例　某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列．

分析：确定取哪些值以及各值所代表的随机事件概率，分布列即获得．

解：本题要求我们给出耗用子弹数的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以的取值只有1，2，3，4，5．当时，即；当时，要求第一次没射中，第二次射中，故；同理，时，要求前两次没有射中，第三次射中，；类似地，；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以，所以耗用子弹数的分布列为：

	0	1	2	3
	0.9	0.09	0.009	0.0001

　　说明：搞清的含义，防止这步出错．时，可分两种情况：一是前4发都没射中，恰第5发射中，概率为0.1⁴×0.9；二是这5发都没射中，概率为0.1⁵，所以，．当然，还有一种算法：即．

独立重复试验某事件发生偶数次的概率

例　如果在一次试验中，某事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，这件事A发生偶数次的概率为________．

分析：发生事件A的次数，所以，其中的k取偶数0，2，4，…时，为二项式 展开式的奇数项的和，由此入手，可获结论．

解：由题，因为且取不同值时事件互斥，所以，．（因为，所以）

说明：如何获得二项展开式中的偶数次的和？这需要抓住与展开式的特点：联系与区分，从而达到去除p奇次，留下p偶次的目的．

根据分布列求随机变量组合的分布列

例　 已知随机变量的分布列为

	－2	－1	0	1	2	3
P

分别求出随机变量的分布列．

　 解： 由于对于不同的有不同的取值，即，所以的分布列为

	－1		0		1
P

对于的不同取值－2，2及－1，1，分别取相同的值4与1，即取4这个值的概率应是取－2与2值的概率与合并的结果，取1这个值的概率就是取－1与1值的概率与合并的结果，故的分布列为

	0	1	4	9
P

说明：在得到的或的分布列中，或的取值行中无重复数，概率得中各项必须非负，且各项之和一定等于1．

成功咨询人数的分布列

　　例  某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数的分布列．

分析：3个人各做一次试验，看成三次独立重复试验，拨通这一电话的人数即为事件的发生次数，故符合二项分布．

解：由题：，所以，分布列为

	0	1	2	3

　　说明：关键是理解二项分布的特点：即某同一事件，在n次独立重复实验中，以事件发生的次数为随机变量．

盒中球上标数于5关系的概率分布列

例　盒中装有大小相等的球10个，编号分别为0，1，2，…，9，从中任取1个，观察号码是“小于5”“等于5”“大于5”三类情况之一．规定一个随机变量，并求其概率分布列．

分析：要求其概率的分布列可以先求个小球所对应的概率．

解：分别用表示题设中的三类情况的结果：表示“小于5”的情况，表示“等于5”的情况，表示“大于5”的情况．

设随机变量为，它可能取的值为取每个值的概率为

（取出的球号码小于5）＝，

（取出的球号码等于5）＝，

（取出的球号码大于5）＝．

故的分布列为

P

小结：分布列是我们进一步解决随机变量有关问题的基础，因此准确写出随机变量的分布列是很重要的，但是我们不能保证它的准确性，这时我们要注意运算的准确性外，还可以利用进行检验．

求随机变量的分布列

例 　一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量的分布列．

分析：由于任取三个球，就不是任意排列，而要有固定的顺序，其中球上的最大号码只有可能是3，4，5，可以利用组合的方法计算其概率．

解：随机变量的取值为3，4，5．

当＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他二球的编号只能是1，2，故有

当＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他二球只能在编号为1，2，3的3球中取2个，故有

当＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他二球只能在编号为1，2，3，4的4球中取2个，故有

因此，的分布列为

	3	4	5
P

说明：对于随机变量取值较多或无穷多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．

取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列

例　一批零件中有9个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列．

分析：取出不合格品数的可能值是0，1，2，3，从而确定确定随机变量的可能值．

解：以表示在取得合格品以前取出的不合格品数，则是一个随机变量，由题设可能取的数值是0，1，2，3．

当＝0时，即第一次就取到合格品，其概率为

当＝1时，即第一次取得不合格品，不放回，而第二次就取得合格品，其概率为

当＝2时，即第一、二次取得不合格品，不放回，第三次取得合格品，其概率为

当＝3时，即第一、二、三次均取得不合格品，而第四次取得合格品，其概率为

所以的分布列为

	0	1	2	3
P	0.750	0.204	0.041	0.005

说明：一般分布列的求法分三步：（1）首先确定随机变量的取值哟哪些；（2）求出每种取值下的随机事件的概率；（3）列表对应，即为分布列．

关于取球的随机变量的值和概率

例　袋中有1个红球，2个白球，3个黑球，现从中任取一球观察其颜色．确定这个随机试验中的随机变量，并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及取每个值的概率．

分析：随机变量变量是表示随机试验结果的变量，随机变量的可能取值是随机试验的所有可能的结果组成．

解： 设集合，其中为“取到的球为红色的球”，为“取到的球为白色的球”，为“取到的球为黑色的球”．

我们规定：，即当时，，这样，我们确定就是一个随机变量，它的自变是量取值不是一个实数，而是集合中的一个元素，即，而随机变量本身的取值则为1，2，3三个实数，并且我们很容易求得分别取1，2，3三个值的概率，即

说明：确定随机变量的取值是根据随机试验的所有可能的结果．