2.3　直线、平面垂直的判定及其性质

一、选择题

1、已知a，b，c是直线，a，b是平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面a的是（　　　）

A、a⊥c,a⊥b，其中bÌa,cÌa　　B、a⊥b,b∥a　　 C、a⊥b，a∥b　　D、a∥b,b⊥a

2、如果直线l⊥平面a，①若直线m⊥l,则m∥a；②若m⊥a,则m∥l；③若m∥a,则m⊥l；④若m∥l,则m⊥a,上述判断正确的是　　　　　　　　　　　　　　 （　　 ）

A、①②③　　　B、②③④　　　C、①③④　　　　 D、②④

3、直角△ABC的斜边BC在平面a内，顶点A在平面a外，则△ABC的两条直角边在平面a内的射影与斜边BC组成的图形只能是　　　　　　　　　　　　　　　　  （　　 ）

A、一条线段　　　　  B、一个锐角三角形

C、一个钝角三角形　　D、一条线段或一个钝角三角形

4、下列命题中正确的是（   ）

A、过平面外一点作这个平面的垂面有且只有一个

B、过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一个

C、过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条

D、过平面外的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个

5、给出下列命题：

①若平面α的两条斜线段PA、PB在α内的射影长相等，那么PA、PB的长度相等；

②已知PO是平面α的斜线段，AO是PO在平面α内的射影，若OQ⊥OP，则必有OQ⊥OA；

③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个；

④平面α内有两条直线a、b都与另一个平面β平行，则α∥β、

上述命题中不正确的命题是 （　　　）

A、①②③④　　 B、①②③　　 C、①③④　　　 D、②③④

6、如果△ABC的三个顶点到平面的距离相等且不为零，那么△ABC的(　)

A、三边均与平行

B、三边中至少有一边与平行

C、三边中至多有一边与平行

D、三边中至多有两边与平行

7、下列命题正确的是(　)

A、一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行

B、平行于同一个平面的两条直线平行

C、与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面

D、平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行

8、下列命题正确的是　　　　　　　　　　　　　  　　　　(　　 )

(A) (B)

 (C) (D)

9、如图2.3.1-2，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有[　　　 ]

A、AH⊥△EFH 所在平面

B、AD⊥△EFH所在平面

C、HF⊥△AEF所在平面

D、HD⊥△AEF所在平面

二、选择题

10、直线a,b,c 是两两互相垂直的异面直线，直线 d是b和c的公垂线，则d和a 的位置关系是______________.

11、在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的各面上的对角线的条数是_________.

三、解答题

12、求证:经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行

已知:∉α

求证:过点有且只有一个平面β∥α

13、已知：空间四边形，，，求证：

14、如图，设三角形ABC的三个顶点在平面的同侧，A⊥于，B⊥于，C⊥于，G、分别是△ABC和△的重心，求证：G⊥

15、如图2.3.1-3，MN是异面直线a、b的公垂线，平面α平行于a和b，求证：MN⊥平面α．

参考答案

一、选择题

1、D；2、B；3、D；4、D；5、B；6、B；7、D；8、B；9、A

二、填空题

10、a∥d

11、4条

三、解答题

12、证明:过平面α外一点作直线α,再过点作平面β,使β,则α∥β.

因为过点且与α平行的平面必与α的垂线也垂直,而过点与 垂直的平面是唯一的,所以过点且与α平行的平面只有一个.

13、证明：取中点，连结，

∵，

∴，

∴平面，

又∵平面，

∴

14、解：连接AG并延长交BC于D，连并延长交于 ，连D、G，由于 A⊥，B⊥，C⊥，则A∥B∥C因为，所以G∥A，因此G⊥

15、证明：过相交直线a和MN作平面β，

设α∩β=a′，

∵a∥α．

∴ a∥a′

∵ MN是a、b的公垂线，∴MN⊥a，于是MN⊥a′．

同样过相交直线b和MN作平面γ，

设α∩γ＝b′，则可得MN⊥b′．

∵a′、b′是α 内两条相交直线，∴MN⊥α．