3.1　两角和与差的正弦、余弦正切公式

一、选择题：

1．sincos－cossin的值是(  )

A．－　　　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　 C．－sin　　　　　　　　 D．sin

2．若sin（α+β）cosβ－cos（α+β）sinβ=0，则sin（α+2β）+sin（α－2β）等于(　)

A．1　　　　　　　　　　　　　　 B．－1　　　　　　　　　　　　C．0　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．±1

二、解答题

3．已知＜α＜，0＜β＜，cos（+α）=－，sin（+β）=，求sin（α+β）的值．

4．已知非零常数a、b满足=tan，求．

5．已知０＜α＜，sin（－α）=，求的值．

6．已知sin（α+β）=，sin（α－β）=，求的值．

7．已知A、B、C是△ABC的三个内角且lgsinA－lgsinB－lgcosC=lg2．试判断此三角形的形状特征．

8．化简．

9． 求值：（1）sin75°；

（2）sin13°cos17°+cos13°sin17°．

10． 求sincos－sinsin的值．

11． 在足球比赛中，甲方边锋从乙方半场带球过人沿直线前进（如下图），试问甲方边锋在何处射门命中乙方球门的可能性最大？（设乙方球门两个端点分别为A、B）

12． 已知＜α＜β＜，cos（α－β）=，sin（α+β）=－，求sin2α的值．

13． 证明sin（α+β）sin（α－β）=sin²α－sin²β，并利用该式计算sin²20°+　　 sin80°·sin40°的值．

14． 化简：［2sin50°+sin10°（1+tan10°）］·．

15． 已知函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2，

（1）若x∈R，求函数的最大值和最小值；

（2）若x∈［0，］，求函数的最大值和最小值．

参考答案

1．B　　　 2． C

3．解：∵＜α＜，

∴＜+α＜π．

又cos（+α）=－，

∴sin（+α）=．

∵0＜β＜，

∴＜+β＜π．

又sin（+β）=，

∴cos（+β）=－，

∴sin（α+β）=－sin［π+（α+β）］=－sin［（+α）+（+β）］

=－［sin（+α）cos（+β）+cos（+α）sin（+β）］

=－［×（－）－×］=．

4．分析：这道题看起来复杂，但是只要能从式子中整理出，用、的三角函数表示出来，再利用两角和与差的正、余弦公式计算即可．

解：由于，则．

整理，有=tan=．

5．分析：这道题的选题意图是考查两角和与差的正、余弦公式和诱导公式的综合运用以及变角技巧．解题过程中，需要注意到（+α）+（－α）=，并且（+α）－（－α）=2α．

解：cos（+α）=cos［－（－α）］=sin（－α）=，

又由于０＜α＜，

则0＜－α＜，＜+α＜．

所以cos（－α）=，

sin．

因此

=

=．

6．分析：当题中有异角、异名时，常需化角、化名，有时将单角转化为复角（和或差）．本题是将复角化成单角，正（余）切和正（余）弦常常互化．

欲求的值，需化切为弦，即，可再求sinαcosβ、cosαsinβ的值．

解：∵sin（α+β）=，∴sinαcosβ+cosαsinβ=．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

∵sin（α－β）=，∴sinαcosβ－cosαsinβ=．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由（①+②）÷（①－②）得=－17．

7．分析：从角与角的关系探究三角函数间的关系；反之，利用三角函数间的关系去判断角的大小及关系，这是常用的基本方法．可以先化去对数符号，将对数式转化为有理式，然后再考察A、B、C的关系及大小，据此判明形状特征．

解：由于lgsinA－lgsinB－lgcosC=lg2，

可得lgsinA=lg2+lgsinB+lgcosC，

即lgsinA=lg2sinBcosC，

sinA=2sinBcosC．

根据内角和定理，A+B+C=π，

∴A=π－（B+C）．

∴sin（B+C）=2sinBcosC，

即sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC．

移项化为sinCcosB－sinBcosC=0，

即sin（B－C）=0．

∴在△ABC中，C=B．

∴△ABC为等腰三角形．

8．分析：这道题要观察出7°+8°=15°，解题过程中还需要应用两角和与差的正弦、余弦公式．

解：

=

=

=

=2－．

9．解：（1）原式=sin（30°+45°）= sin30°cos45°+cos30°sin45°=·+·=

．

（2）原式= sin（13°+17°）=sin30°=．

10．解：观察分析这些角的联系，会发现=－．

sincos－sinsin

=sincos－sin（－）sin

=sincos－cossin

=sin（－）

=sin

=．

11．解：设边锋为C，C到足球门AB所在的直线的距离为CO=x，OB=b，OA=a（a＞b＞0，a、b为定值），∠ACO=α，∠BCO=β，∠ACB=α－β＝γ（0＜γ＜），

则tanα=，tanβ=（x＞0，＞0）．

所以tanγ=tan（α－β）=≤．

当且仅当x=，即x=时，上述等式成立．又0＜γ＜，tanγ为增函数，所以当x=时，tanγ达到最大，从而∠ACB达到最大值arctan．

所以边锋C距球门AB所在的直线距离为时，射门可以命中球门的可能性最大．

12．解：此题考查“变角”的技巧．由分析可知2α=（α－β）+（α+β）．

由于＜α＜β＜，可得到π＜α+β＜，0＜α－β＜．

∴cos（α+β）=－，sin（α－β）=．

∴sin2α=sin［（α+β）+（α－β）］

=sin（α+β）cos（α－β）+cos（α+β）sin（α－β）

=（－）·+（－）·

=－．

13．证明：sin（α+β）sin（α－β）=（sinαcosβ+cosαsinβ）（sinαcosβ－cosαsinβ）

=sin²αcos²β－cos²αsin²β

=sin²α（1－sin²β）－（1－sin²α）sin²β

=sin²α－sin²αsin²β－sin²β+sin²αsin²β

=sin²α－sin²β，

所以左边=右边，原题得证．

计算sin²20°+sin80°·sin40°，需要先观察角之间的关系．经观察可知80°=60°+　　20°，40°=60°－20°，

所以sin²20°+sin80°·sin40°=sin²20°+sin（60°+20°）·sin（60°－20°）

=sin²20°+sin²60°－sin²20°

=sin²60°

=．

分析：此题目要灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简．

14．解：原式=［2sin50°+sin10°（1+tan10°）］·

=［2sin50°+sin10°（1+）］·

=［2sin50°+sin10°（）］·

=（2sin50°+2sin10°·）·cos10°

=2（sin50°cos10°+sin10°·cos50°）

=2sin60°=．

15．解：（1）设t=sinx+cosx=sin（x+）∈［－，］，

则t²=1+2sinxcosx．

∴2sinxcosx=t²－1．

∴y=t²+t+1=（t+）²+∈［，3+］

∴y_max=3+，y_min=．

（2）若x∈［0，］，则t∈［1，］．

∴y∈［3，3+］，

即y_max­=3+y_min=3．