1.2　任意的三角函数

一、选择题

1．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边(　)

A．在x轴上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．在y轴上

C．在直线y＝x上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．在直线y＝－x上

2．如果＜θ＜，那么下列各式中正确的是(　)

A．cosθ＜tanθ＜sinθ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．sinθ＜cosθ＜tanθ

C．tanθ＜sinθ＜cosθ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．cosθ＜sinθ＜tanθ

3．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则P（cosB－sinA，sinB－cosA）在(　)

A．第一象限　　　　　　　　 B．第二象限　　　　　　　　C．第三象限　　　　　　　 D．第四象限

4．若sinαtanα＞0，则α的终边在(　)

A．第一象限　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．第四象限

C．第二或第三象限　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．第一或第四象限

5．若角α的终边与直线y=3x重合且sinα＜0，又P（m，n）是角α终边上一点，且OP=，则m－n等于(　)

A．2　　　　　　　　　　　　　　 B．－2　　　　　　　　　　　　C．4　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．－4

二、填空题

6．若0≤θ＜2π，则使tanθ≤1成立的角θ的取值范围是_________．

7．在（0，2π）内使sinx＞cosx的x的取值范围是_________．

三、解答题

8．比较下列各组数的大小：

（1）sin 1和sin；

（2）cos和cos；

（3）tan和tan；

（4）sin和tan．

9．已知α是第三象限角，试判断sin（cosα）·cos（sinα）的符号．

10．求下列函数的定义域：

（1）y=；

（2）y=lgsin2x+．

11． 当α∈（0，）时，求证：sinα＜α＜tanα．

12． 已知θ为正锐角，求证：

（1）sinθ＋cosθ＜；

（2）sin³θ+cos³θ＜1．

13．已知角α的终边经过点P（－3cosθ，4cosθ），其中θ∈（2kπ+，2kπ+π）（k∈Z），求角α的各三角函数值．

14．（1）已知角α的终边经过点P（3，4），求角α的六个三角函数值；

（2）已知角α的终边经过点P（3t，4t），t≠0，求角α的六个三角函数值．

15．已知角α终边上的一点P，P与x轴的距离和它与y轴的距离之比为3 ：4，且求：cosα和tanα的值．

参考答案

一、选择题

1．B  2．D　3． D　4． D　5．A

二、填空题

6．［0，］∪（，］∪（，2π） 7．（，）

三、解答题

8．分析：三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．比较两个三角函数值的大小，可以借助三角函数线．

解：（1）sin1＜sin；（2）cos>cos；（3）tan<tan；（4）sin<tan．

9．分析：若α是第三象限的角，则有① cosα＜0，且－1＜cosα＜0；② sinα＜0，且－1＜sinα<0．在此基础上可确定sin（cosα）与cos（sinα）的符号，进而即可确定sin（cosα）·cos（sinα）的符号．

解：∵α是第三象限角，∴－1<cosα<0，－1<sinα<0．

∴sin（cosα）<0，cos（sinα）>0．∴sin（cosα）·cos（sinα）<0．

10．解：（1）由lg（cosx）≥0，得cosx≥1，又cosx≤1，

∴cosx=1．

∴x=2kπ，k∈Z．故此函数的定义域为{xx=2kπ，k∈Z}．

（2）∵sin2x>0，∴2kπ<2x<2kπ+π（k∈Z）．

∴kπ<x<kπ+（k∈Z）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

又9－x²≥0，∴－3≤x≤3．

故y=lgsin2x+的定义域为{x－3≤x<－或0<x<}．

11． 分析：利用代数方法很难得证．若利用三角函数线借助几何直观建立面积不等式，则可迎刃而解．

解：如下图，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于点P，α的正弦线、正切线为MP、AT，则MP=sinα，AT=tanα．

∵S_△AOP =OA·MP=sinα，S_扇形AOP =α·r²=α，S_△OAT =OA·AT=AT=tanα．

又S_△AOP＜S_扇形AOP＜S_△AOT，

∴sinα＜α＜tanα，即sinα＜α＜tanα．

12． 证明：（1）设角θ的终边与单位圆交于P（x，y），

过点P作PM⊥Ox，PN⊥Oy，M、N为垂足．

∵y＝sinθ，x＝cosθ，

S_△OAP＝OA·PM＝y＝sinθ，

S_△OPB＝OB·NP＝x＝cosθ，

S_扇形OAB＝．

又四边形OAPB被扇形OAB所覆盖，

∴S_△OAP＋S_△OPB＜S_扇形OAB，

即．

∴sinθ＋cosθ＜．

（2）∵0＜x＜1，0＜y＜1，

∴0＜cosθ＜1，0＜sinθ＜1．

∵函数y=a^x（0＜a＜1）在R上是减函数，

∴cos³θ＜cos²θ，sin³θ＜sin²θ．

∴cos³θ+sin³θ＜cos²θ+sin²θ．

∵sin²θ+cos²θ=x²+y²=1，

∴sin³θ+cos³θ＜1．

13． 解：∵θ∈（2kπ+，2kπ+π）（k∈Z），

∴cosθ＜0．

∴x=－3cosθ，y=4cosθ，r===－5cosθ．

∴sinα=－，cosα=，tanα=－，cotα=－，secα=，cscα=－．

14． 解：（1）由x=3，y=4，得r==5．

∴sinα==，cosα==，tanα==，cotα==，secα==，cscα= =．

（2）由x=3t，y=4t，得r==5t．

当t＞0时，r=5t．

因此sinα=，cosα=，tanα=，cotα=，secα=，cscα=；

当t＜0时，r=－5t．

因此sinα=－，cosα=－，tanα=，cotα=，secα=－，cscα=－．

15． 设P(x，y)，则依题意知y ：x =3 ：4

∵sinα<0

∴α终边只可能在第三、四象限或y轴负半轴上

若P点位于第三象限，可设P（-4k，-3k），（k>0）

∴r=5k，从而，

若P点位于第四象限，可设P（4k，-3k），（k>0）

∴r=5k，从而，

又由于y ：x =3 ：4，故α的终边不可能在y轴的负半轴上

综上所述：知cosα的值为，tanα的值为