求第一类函数的极限

例  讨论下列函数当时的极限：

（1）

（2）

（3）

分析：先作出函数的图像，根据函数极限的定义，观察、分析函数值的变化趋势来讨论所给函数的极限．

解：作出所给各函数的图像

由图像可知：

（1）不存在，不存在

（2）

（3）不存在．

说明：函数当时的极限与数列当时的极限不同，前者包括当时的极限，当时的极限，只有时，的极限才存在．

由于，容易错误地认为．事实上，，不存在，所以的极不存在．

求函数的左右极限

例　讨论下列函数在点处的左极限、右极限以及函数在处的极限：

（1）

（2）

（3）

（4）

分析：先作出各个函数的图像，通过观察、分析函数的图像，函数的变化趋势，根据函数的极限的定义，求出函数在点处的左、右极限以及在处的极限．

解：作出所给各函数的图像．

由图像可知：

（1），因此．

（2），因此不存在．

（3）不存在，，因此不存在．

（4）．

由函数极限的定义有：

．

说明：利用定义求函数在一点处的左、右极限是最常用的方法，分段函数在分点处的左、右极限与分点附近两侧的解析式有关，不能代错，如（1）中．

判断函数的极限是否存在

例　 判断函数在x=1处的极限是否存在．

分析：函数表达式中含有绝对值符号，因此要分类讨论，即分别求点处的左极限和右极限．

解：；

因为，所以函数在x=1处的极限不存在．

说明：本题表明了函数在一点处的极限与函数在这点的左极限、右极限的关系，即