分段函数的极限和连续性

例　 设

（1）求在点处的左、右极限，函数在点处是否有极限？

（2）函数在点处是否连续？

（3）确定函数的连续区间．

分析：对于函数在给定点处的连续性，关键是判断函数当时的极限是否等于；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续．

解：（1）

∴

函数在点处有极限．

（2）

函数在点处不连续．

（3）函数的连续区间是（0，1），（1，2）．

说明：不能错误地认为存在，则在处就连续．求分段函数在分界点的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有才存在．

函数的图象及连续性

例 　已知函数，

（1）求的定义域，并作出函数的图象；

（2）求的不连续点；

（3）对补充定义，使其是R上的连续函数．

分析：函数是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x的取值范围，给函数补充定义，使其在R上是连续函数，一般是先求，再让即可．

解：（1）当时，有．

因此，函数的定义域是

当时，

其图象如下图．

（2）由定义域知，函数的不连续点是．

（3）因为当时，

所以

因此，将的表达式改写为

则函数在R上是连续函数．

说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致．

利用函数图象判定方程是否存在实数根

例  利用连续函数的图象特征，判定方程是否存在实数根．

分析：要判定方程是否有实根，即判定对应的连续函数的图象是否与x轴有交点，因此只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可．

解：设，则是R上的连续函数．

　又，因此在内必存在一点，使，所以是方程的一个实根．

所以方程有实数根．

　说明：作出函数的图象，看图象是否与x轴有交点是判别方程是否有实数根的常用方法，由于函数是三次函数，图象较难作出，因此这种方法对本题不太适用．

函数在区间上的连续性

例　函数在区间（0，2）内是否连续，在区间上呢？

分析：开区间内连续是指内部每一点处均连续，闭区间上连续指的是内部点连续，左点处右连续，右端点处左连续．

解：（且）

任取，则

∴　在（0，2）内连续．

但在处无定义，∴　在处不连续．

从而在上不连线

　　说明：区间上的连续函数其图象是连续而不出现间断曲线．

函数在某一点处的连续性

例 　讨论函数在与点处的连续性

分析：分类讨论不仅是解决问题的一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想．

明确讨论对象，确立分类标准，正确进行分类，以获得阶段性的结论，最后归纳综合得出结果，是分类讨论的实施方法．本题极限式中，若不能对x以1为标准，分三种情况分别讨论，则无法获得的表达式，使解答搁浅．

讨论在与点处的连续性，若作出的图像，则可由图像的直观信息中得出结论，再据定义进行解析论证．

由于的表达式并非显式，所以须先求出的解析式，再讨论其连续性，其中极限式中含，故须分类讨论．

解：（1）求的表达式：

①当时，

②当时，

③当时，

∴

（2）讨论在点处的连续性：

∴不存在，在点处不连续

（3）讨论在点处的连续性：

∴，在点处连续．

根据函数的连续性确定参数的值

例  若函数在处连续，试确定a的值

解：

欲在处连续，

必须使，故

说明：利用连续函数的定义，可把极限转化为函数值求解．