4.1　圆的方程

一、选择题

1、若方程x+y+4kx－2y+5k=0表示圆，则k的取值范围是(　　)

A,<k<1　B .k<或k>1

C. k=或k=1

D.k任意实数

2.已知圆x²+y²+kx+2y+k²=0,当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是（　 ）

A、(0,－1)　 B、(1,－1)

C、(－1,0)　 D、(－1,1)

3、如果方程x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（　　 ）

A、D=E　　　B、D=F

C、E=F　　　D=E=F

4、已知x²+y²+4x－2y-4=0，则x²+y²的最大值为(　　)

A、9　　　　  B、14

C、　　D、

5、圆x²+y²+2x+4y-3=0上且到直线x+y+1=0的距离为的点共有(　 )

A、1个　　B、2个

C、3个　 D、4个

6、曲线x²+y²+2x-2y=0关于(　 )对称。　　　　　　 (　 )

A、直线x=　 B、直线y=-x

C、点(-2，)　D、点(-，0)

7、圆的方程是(x－1)(x+2)+(y－2)(y+4)=0，则圆心的坐标是(　)

A.(1,－1)　　 B.(,－1)

C.(－1,2)　　 D.(－,－1).

二、填空题

8、圆x²+y²－2x－6y+9=0关于直线x－y－1=0对称的圆的方程是

9、已知圆的方程x²+y²-8x-2y+12=0，P(1,1)，则圆上距离P点最远的点的坐标是　　　　　  。

10、三角形ABC的三个顶点A(1,4)，B(-2，3)，C(4，-5)，则△ABC的外接圆方程是　　　　　　　　  。

11、若两圆x²+y²－10x-10y=0与x²+y²－6x+2y-40=0相交于两点，则它们的公共弦所在直线的方程是　　　　 。

三、解答题

12、10、已知直线l：kx-y-3k=0；圆M：x²+y²-8x-2y+9=0，

(1)求证：直线l与圆M必相交；

(2)当圆M截l所得弦最长时，求k的值。

13、已知圆C的方程为x²+y²+(m-2)x+(m+1)y+m-2=0，根据下列条件确定实数m的取值，并写出相应的圆心坐标和半径。

圆的面积最小；

圆心距离坐标原点最近。

14、已知圆M经过直线l: 2x+y+4=0与圆C：x²+y²+2x－4y+1=0的交点，且圆M的圆心到直线2x+6y－5=0的距离为，求圆M的方程

解：设经过直线l与圆C的交点的圆系方程为x²+y²+2x－4y+1+(2x+y+4 )=0

则x²+y²+2(+1)+ (－4)y+4+1=0

∴圆M的圆心为M（）

由条件可得=

解得=－10或=13

所以所求圆的方程为x²+y²－20x－15y－43=0或x²+y²+28x+9y+53=0

15、求经过两点P(－2,4)，Q(3,－1),并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程

参考答案

选择题

1、B；2、A；3、A；4、D；5、C；6、B；7、D

填空题

8、x²+y²-8x+15=0

9、

10、x²+y²－2x+2y-23=0

11、x+3 y -10=0

解答题

12、解：(1)证明：直线l可化为：y=k(x-3)，过定点A(3,0)，又圆M：(x-4)²+(y-1)²=8而AM==<2，所以点A在圆M内，于是直线l与圆M必相交。

(2)要使圆M截l所得弦最长，则l过圆心M，把点(4,1)代入直线方程得k=1。

13、解：∵(m-2)² +(m+1)²-4( m-2)

=2m²-6m+13>0恒成立，无论m为何值，方程总表示圆。圆心坐标，圆的半径为r=。

圆的半径最小时，面积最小。r==，当且仅当m=时，等号成立，此时面积最小。圆心坐标为，半径r=。

圆心到坐标原点的距离d=当且仅当m=时，距离最近。此时，圆心坐标为，半径r=。

14、解：设经过直线l与圆C的交点的圆系方程为x²+y²+2x－4y+1+(2x+y+4 )=0

则x²+y²+2(+1)+ (－4)y+4+1=0

∴圆M的圆心为M（）

由条件可得=

解得=－10或=13

所以所求圆的方程为x²+y²－20x－15y－43=0或x²+y²+28x+9y+53=0

15、解：设圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0，将点的坐标分别代入得

令y=0得x+Dx+F=0

设x,x是方程x+Dx+F=0的两根

由=6有D－4F=36

解得D=－2,E=－4,F=－8

或D=－6,E=－8,F=0

所求圆的方程为x+y－2x－4y－8=0

或x+y－6x－8y=0