高三理科数学综合测试试题四

本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在别发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

参考公式：

球的表面积公式  ， 其中R表示球的半径

球的体积公式　　，其中R表示球的半径

第一部分（选择题，共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．命题：“若”的逆否命题是　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．若

　　　 B．若

　　　 C．若

　　　 D．若

2．已知的虚部为　　　　　　　（　　）

　　　 A．1　　　　　　　　　　　　B．2　　　　　　　　　　　　C．i　　　　　　　　　　　　 D．2i

3．若a与b+c都是非零向量，则“a+b+c=0”是“a//(b+c)”的　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．充分而不必要条件　　　　　　　　　　　　　　 B．必要而不充分条件

　　　 C．充分必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．既不充分与不必要条件

4．与函数的图象相同的函数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　 D．

5．已知直线，若直线l₂经过点（0，5），且的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　　B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　　D．

6．已知（a为常数）在[－2，2]上有最大值3，那么在[－2，2]上的最小值是

（　　）

　　　 A．－5　　　　　　　　　　B．－11　　　　　　　　　C．－29　　　　　　　　　D．－37

7．为使方程的取值范围是　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．　　　　

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．

8．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD的中点，则异面直线AE、BC所成角的正切值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　 C．2　　　　　　　　　　　　D．

第二部分 （非选择题，共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9．若直线的倾斜角为120°，则a的值是　　　　　  。

10．在一个水平放置的底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为R的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R，则R=　　　　。

11．在等比数列　　　　 ；数列的前2n项和=　　　　　 。

12．已知的最小值为　　　　　　 。

13．在坐标平面内，由不等式组所确定的区域的面积为=　　　　 。

14．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，AH为BC边上的高，以下结论：

　　①　　　　　　　　　　　　　②

　　　 ③　　　　　　　 ④

　　其中正确的是　　　　　 。（写出所有你认为正确的结论的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应定出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（本小题满分12分）

　　已知数列

　 （1）求数列的通项公式；

　 （2）求证数列是等比数列；

　 （3）求使得的集合。

16．（本小题满分12分）

　　已知A、B、C三点的坐标分别为、、

　 （1）若的值；

　 （2）若

17．（本小题满分14分）

　　　　一艘轮船在航行过程中的燃料费与它的速度的立方成正比例关系，其他与速度无关的费用每小时96元，已知在速度为每小时10公里时，每小时的燃料费是6元，要使行驶1公里所需的费用总和最小，这艘轮船的速度应确定为每小时多少公里？

18．（本小题满分14分）

　　　　已知与曲线、y轴于、为原点。

　 （1）求证：；

　 （2）求线段AB中点的轨迹方程；

　 （3）求△AOB面积的最小值。

19．（本小题满分14分）

　　　　如图，四棱锥P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA。

　 （1）求异面直线PA与CD所成的角；

　 （2）求证：PC//平面EBD；

　 （3）求二面角A—BE—D的余弦值。

20．（本小题满分14分）

　　已知函数

　 （1）若函数的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证：

　 （2）若的图像上的任意一点的切线的斜率为k，

求证：成立的充要条件。

广东省华南师大附中2007—2008学年度高三综合测试（四）

数学试题（理科）参考答案

一、选择题

1．D　 2．A　 3．A　 4．C　　5．D 　6．D　 7．B　 8．A

二、填空题

9．　　10．　　11．40；　　12．7　　13．3　　14．①②③④

三、解答题

15．解：（1）设数列

由题意得：

解得：

　 （2）依题，

为首项为2，公比为4的等比数列

　 （2）由

16．解：（1），

　 （2）由

17．解法1：

设轮船的速度为x千米/小时（x>0），

则航行1公里的时间为小时。

依题意，设与速度有关的每小时燃料费用为，

答：轮船的速度应定为每小时20公里，行驶1公里所需的费用总和最小。

解法2：

设轮船的速度为x千米/小时（x>0），

则航行1公里的时间为小时，

依题意，设与速度有关的每小时燃料费用为

元，

且当时等号成立。

答：轮船的速度应定为每小时20公里，行驶1公里所需的费用总和最小。

18．解：（1），半径为1依题设直线，

　　由圆C与l相切得：

　 （2）设线段AB中点为

　　代入即为所求的轨迹方程。

　 （3）

　　

19．解：（1）建立如图所示的直角坐标系

　　

　　∴异面直线CD与AP所成的角为60°

　 （2）连结AC交BD于G，连结EG，

　　

　 （3）设平面，由

　　

20．解：（1）设函数、，

　　不妨设

　　

　 （2）时，