高三文科数学第二次模拟考试试题

一、本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知，那么角是（　　）

Ａ．第一或第二象限角　　　　　　　　　　 Ｂ．第二或第三象限角

Ｃ．第三或第四象限角　　　　　　　　　　 Ｄ．第一或第四象限角

2．函数的反函数的定义域为（　　）

Ａ．　　　　　　　 Ｂ．　　　　　　　　　　Ｃ．　　　　　　　　　　Ｄ．

3．函数的最小正周期是（　　）

Ａ．　　　　　　　　 Ｂ．　　　　　　　　　Ｃ．　　　　　　　　Ｄ．

4．椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）

Ａ．　　　　　　　　 Ｂ．　　　　　　　　　　 Ｃ．　　　　　　　　　Ｄ．

5．在等比数列（）中，若，，则该数列的前10项和为（　　）

A．　　　　　 B．　　　　C．　　　　　D．

6．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（　　）

Ａ．　　　　　　Ｂ．　　　　　 Ｃ．　　　　　　Ｄ．或

7．平面平面的一个充分条件是（　　）

Ａ．存在一条直线　　　　　　　　　

Ｂ．存在一条直线

Ｃ．存在两条平行直线

Ｄ．存在两条异面直线

8．对于函数①，②，③，判断如下两个命题的真假：

命题甲：是偶函数；

命题乙：在上是减函数，在上是增函数；

能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（　　）

Ａ．①②　　　　　　　Ｂ．①③　　　　　　　Ｃ．②　　　　　　　　　Ｄ．③

9．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图1）．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（　　）

A．48米　　　　　　　 B．49米　　　　C．50米 　　　　　　 D．51米

　　　　　　　

10．函数的图象和函数的图象的交点个数是（　 ）

A．1　　　　　　　　　　 B．2　　　　　　　　　　 C．3　　　　　　　　　　 D．4

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

11．是的导函数，则的值是　　　　　　　　　　　　．

12．若数列的前项和，则此数列的通项公式为　　　　　　　　　　　　　　　．

13．已知向量．若向量，则实数的值是　　　　　　　　　　　　．

请考生在14，15两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

14．在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为　　　　　　　　　　　　　　　　 ．

15．如图2所示，圆的直径，为圆周上一点，，过作圆的切线，过作的垂线，垂足为，则　　　　　　　　　　　　　　　．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分14分）

设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）若，，求b．

17．（本小题满分14分）

某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．

（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；

（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．

18．（本小题满分14分）

四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知，，，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的正弦值．

19．（本小题满分14分）

设函数在及时取得极值．

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．

20．（本小题满分12分）

设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，

（Ⅰ）求，的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于B，D两点，过的直线交椭圆于A，C两点，且，垂足为P．

（Ⅰ）设P点的坐标为，证明：；

（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．

2007-2008年高三文科数学第二次模拟考试试题

参考答案

一、选择题

　　　 1．Ｃ　　　　　　2．Ｂ　　　　　　3．Ｂ　　　　　　4．Ｄ　　　　　　　　　 5．B　　　　　　　6．Ｃ　　

7．Ｄ　　　　　　8．Ｃ　　　 9．C　　　 10．C

二、填空题

　　　 11．　　　　　 12．　　　　　　　　　13．　　　　　　　　　 14．2　　　　　　15．30°

三、解答题

16．解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，

由为锐角三角形得．………………………………………………7分

（Ⅱ）根据余弦定理，得．

所以，．………………………………………………14分

17．解：（Ⅰ）记表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”，则表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”．

，

．………………………………………………7分

（Ⅱ）记表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元”．

表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”．

表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”．

则．

，．

．……………………………………14分

18．解法一：（1）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．

因为，所以，又，故为等腰直角三角形，，

由三垂线定理，得．………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

依题设，

故，由，，．

又，作，垂足为，

则平面，连结．为直线与平面所成的角．

所以，直线与平面所成角的正弦值为．………………………………………………14分

解法二：（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．

因为，所以．

又，为等腰直角三角形，．

如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，

因为，，

又，所以，

，．

，，，，所以．…………………7分

（Ⅱ），.

与的夹角记为，与平面所成的角记为，因为为平面的法向量，所以与互余．

，，

所以，直线与平面所成角的正弦值为．………………………14分

19．解：（Ⅰ），

因为函数在及取得极值，则有，．

即

解得，．………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，

．

当时，；

当时，；

当时，．

所以，当时，取得极大值，又，．

则当时，的最大值为．

因为对于任意的，有恒成立，

所以　，

解得　或，

因此的取值范围为．………………………14分

20．解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且

解得，．

所以，

．………………………6分

（Ⅱ）．

，①

，②

②－①得，

．………………………12分

21．证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，

由知点在以线段为直径的圆上，

故，

所以，．………………………6分

（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．

设，，则

，，

；

因为与相交于点，且的斜率为．

所以，．

四边形的面积

．

当时，上式取等号．………………………10分

（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．……………………11分

综上，四边形的面积的最小值为．………………………12分