08届高三理科数学第三次阶段考试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．若集合，，则等于（　　 ）

A．{0}　　　　　 B．　　　　C．S　　　　　 D．T

2．等差数列的前n项和为，那么下列S₁₃值的是　　　　　　　　　　　　 （　　 ）

　　　 A．130 B．65 C．70 D．以上都不对

3、下列命题正确的是（　　）

A．函数在区间内单调递增

B．函数的最小正周期为

C．函数的图像是关于点成中心对称的图形

D．函数的图像是关于直线成轴对称的图形

4、在△ABC中，已知向量，则△ABC为（　　 ）　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　A．三边均不相等的三角形　　　　　　 B．直角三角形

　　C．等腰非等边三角形　　　　　　　　 D．等边三角形

5、α、β为两个互相垂直的平面，a、b为一对异面直线，下列条件：①a//α、b；②a⊥α、b；③a⊥α、b；④a//α、b且a与α的距离等于b与β的距离，

其中是a⊥b的充分条件的有 （　　 ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．①④　　　　　 B．①　　　　  C．③　　　　　  D．②③

A、-1　　  B、1　　 C、0　　　 D、0或±1

7、A，B，C，D四个城市之间有笔直的公路相连接，客运车行驶于各城市之间，其票价与路程成正比.具体票价如图

则BD之间的票价应为________

A、7元　　 B、7.5元

C、8元　　 D、8.5元

8、过抛物线y=x²准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M,N,则直线MN过定点（　　　 ）

A、 （0，1）　 B、（1，0）　　C、（0，-1）　　D、（-1，0）

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．

9．若集合，若，则实数a的取值范围是　　　　.

10、已知△ABC的三个顶点A、B、C及所在平面内一点P满足，则点△BCP与△ABP的面积分别为s₁,s₂,则s₁:s₂=_________

11、数列满足，若，则的值为____

12、球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的直径为　　　　　　　

13（选做题）、在直角坐标系中将曲线C₁：xy=绕原点按逆时针方向旋转30°后得到曲线C₂，则曲线C₂截y轴所得的弦长为_______________________.

14（选做题）、已知不等式2x-4+3x+3+2x-1+2a-3<0的解集非空，则实数a的取值范围为_____________

15（选做题）、如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于点C，且AD=DC，则sin∠ACO=_________

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17（13分）、已知{a_n}为等比数列，{b_n}为等差数列，其中a₂=b₄,a₃=b₂,a₄=b₁，且a₁=64,公比q≠1

　 （Ⅰ）求a_n,b_n；

　 （Ⅱ）设c_n=log₂a_n，求数列{c_na_n}的前n项和T_n

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

图1

18（13分）、已知一几何体的三视图如图1，主视图与左视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为6，俯视图为正方形，（1）求点A到面SBC的距离；（2）有一个小正四棱柱内接于这个几何体，棱柱底面在面ABCD内，其余顶点在几何体的棱上，当棱柱的底面边长与高取何值时，棱柱的体积最大，并求出这个最大值。

19、（14分）已知函数f(x)=ax³+x²-x (a∈R且a≠0)

（1）若函数f(x)在（2，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围.

（2）证明：当a>0时，函数在f(x)在区间（）上不存在零点

20、（14分）设不等式组所表示的平面区域为D_n，记D_n内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为f(n)(n∈N*).

　 （1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式；（可以不作证明）

 （2）记，若对于一切正整数n，总有T_n≤m成立，求实数m的取值

范围.

（3）(附加题，做对加4分)求证：当n∈N⁺时，

21、（14分）已知点H（－3，0），点P在轴上，点Q在轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足， .

（Ⅰ）当点P在轴上移动时，求点M的轨迹C；

（Ⅱ）过定点作直线交轨迹C于A、B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，求证：；

（Ⅲ）在（Ⅱ）中，是否存在垂直于轴的直线被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在求出的方程；若不存在，请说明理由.

　　　　　　　　　  答卷

题号	一	二	16	17	18	19	20	21
分数

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．

 

9、_________________________　　　　　  10、____________________________

11、_________________________　　　　　 12、____________________________

13、(选做题)__________________　　　　　 14、(选做题)____________________

15、(选做题)__________________

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤

16、

17、

18、

19、

20、

21、

　　　　　　　　　　　　　　  参考答案

CACD CCBA

9、　　  10、2:1 　　 11、　　12、　　  13、4

14、a<-1　 15、

16、

17、解：（I）依题意

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………2分

　　　

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………4分

　　　 　bn=8+8×(n-1)=8n　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………5分

（II）　　　　　　　　　 …………6分

　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………12分

18、（1）3

（2）底面边长为2，高为4是，体积最大，最大体积为16

19、

略解、（1）因为f′(x)=3ax²+2x-1，依题意存在（2，+∞）的非空子区间使3ax²+2x-1>0成立，即 在x∈（2，+∞）某子区间上恒成立，令h(x)=,求得h(x)的最小值为，故

（2）由已知a>0

令f′(x)=3ax²+2x-1>0

得故f(x)在区间（）上是减函数， 即f(x)在区间（）上恒大于零。故当a>0时，函数在f(x)在区间（）上不存在零点

20、（1）f(1)=3………………………………………………………………………………（1分）

　　　  f(2)=6………………………………………………………………………………（2分）

　　　　当x=1时，y=2n，可取格点2n个；当x=2时,y=n，可取格点n个

　　　　∴f(n)=3n…………………………………………………………………………（4分）

　

　 （2）………………………………………………（9分）

　　　　

　　　　∴T₁<T₂=T₃>T₄>…>T_n

　　　　故T_n的最大值是T₂=T₃=

　　　　∴m≥………………………………………………………………（）

21、解：（Ⅰ）设,

且,　　　…………………2分

　　　　　　　　　 …………………3分

.　　　　　　　　 ………………………………………………4分

∴动点M的轨迹C是以O（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线（除去原点）.

　　　　　　　　　　　　　…………………………………………5分

（Ⅱ）解法一：（1）当直线垂直于轴时，根据抛物线的对称性，有；

　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………6分

（2）当直线与轴不垂直时，依题意，可设直线的方程为，，则A，B两点的坐标满足方程组

消去并整理，得

,

.　 ……………7分

设直线AE和BE的斜率分别为，则:

＝

.　…………………9分

,

,

，

.

综合（1）、（2）可知.　　　　　　　　　…………………10分

解法二：依题意，设直线的方程为，，则A，B两点的坐标满足方程组:

消去并整理，得

,

. ……………7分

设直线AE和BE的斜率分别为，则:

＝

.　…………………9分

,

,

，

.　　　 　……………………………………………………10分

（Ⅲ）假设存在满足条件的直线，其方程为，AD的中点为，与AD为直径的圆相交于点F、G，FG的中点为H，则，点的坐标为.

,

,

 .　　　　　　　　  …………………………12分

,

令，得

此时，.

∴当，即时，（定值）.

∴当时，满足条件的直线存在，其方程为；当时，满足条件的直线不存在.