高三三校联考文科数学试题

　　　　　　  三校联考数学（文）试题

本试卷共8页，21小题，满分150分，考试时间为120分钟．

注意事项：1、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．

　　　　 2、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。）

1．已知全集U=R，集合，集合＜＜2，则（　 ）

   A．　　  B．　　　 C．　　　 D．

2．设复数　　　　　　　　　　　　  （　　）

   A．2　　　　　  B．1　　　　　　  C．－1　　　　　  D．－2

3．在等比数列中，如果　　　　　　 （　　）

　 A．135　　　　 B．100　　　　　　 C．95　　　　　　 D．80

4．在边长为1的等边△中，设　　 （　　）

   A．　　　　　 B．0　　　　　  C．　　　　　 　D．3

5．在△中，,,分别是，，的对边，且，则等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （　　）

　 A．　　　　　　B．　　　　　 C．　　　　　 D．

6．已知直线及平面，下列命题中是假命题的是　　　　　　　　　　　　 （　　）

   A．若∥,∥,则∥；　　　　B．若∥，∥，则∥.

　 C．若，∥，则；　　  D．若∥，则；

7．已知函数，若＞0，＜0，则必有　　　　　　　　 （　　 ）

　 A．＞0　　　　　　　　 B．＜0

　 C．0　　　　　　　　 D．的符号不能确定

8．曲线在横坐标为-1的点处的切线为，则点到直线的距离为（　　）

   A．　　　　　 B．　　　　　　C．　 　　　 D．

9．已知，，若向区域上随机投一点P，则点P落在区域的概率为　　　　　　　　　　　　 　　　　　 （　　）

   A．　　　　　 　　B．　　　　 　　 C．　　 　　　D．

10．对于函数①，②，③，判断如下两个命题的真假：

命题甲：是偶函数；

命题乙：在上是减函数，在上是增函数；

能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　 A．①②　　　　　　 B．①③　 　　　　　C．②　　　　　  D．③

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分20分，其中14，15题是选做题，考生只能做一题，两题全答的，只计算14题的得分.）

11、已知椭圆C的焦点与双曲线的焦点相同，且离心率为，则椭圆C的标准方程为　　　　　　　　　 .

12、函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 　　　　　 .

13、如图所示，这是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是　　　　  .

14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线的极坐标方程为，则极点到这条直线的距离是　　　　.

15、（平面几何选讲选做题）如图，⊙的割线过圆心，弦交于点，且△∽△，，则　　　 .

　　　　　　　　　　　

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16、（本题满分12分）已知向量，，

设.

（1）求函数的最小正周期.

（2）当时，求函数的最大值及最小值.

17.(本题满分12分)已知函数

  （1）当时，解不等式＞；

  （2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.

18.（本题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面，且，若、分别为、的中点.

（1）求证：∥平面；

（2）求证：平面平面.

19、（本题满分14分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为.

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过椭圆C 的右焦点作直线交椭圆C于、两点，交轴于点，若，　，求证：.

20、（本题满分14分）设函数，对于正数数列，其前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）是否存在等比数列，使得对一切正整数都成立？若存在，请求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由.

21.（本题满分14分）设函数，且，其中是自然对数的底数.

（1）求与的关系；

（2）若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；

（3）设，若在上至少存在一点，使得＞成立，求实数的取值范围.

答题卷

二、填空题：（本大题共须作4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题横线上）

11、　　　　　　　　 12、 　　　　　  13、　　　　  　　

★选作题 　　　　　14、　　　　　　　 15、 　　　　　　 　

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

16．解：

17．解：

18．证明：

 

19．解：

20.解：

21.解：

参考答案

一、选择题　DDAAD，BAADC

二、填空题　11.　 ；12. ； 13. ； 14.  ；15.

三、解答题

16.解：（1）　 ………2分

 　　　　　　　  ………3分

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ………5分

 所以函数的最小正周期　　　　　　　　　　　  ………6分　　　　 

（2）当，  ，

 ∴当时，有最大值；　　　　  ………10分

当，即时，有最小值.　　　 ………12分

17.解：（1）当时，，，

　 由 ＞，　　　　　　　　　  ………3分

　 得＞，＜ ，＜＜　　　

　 ∴原不等式的解为 ＜＜；　　　　　　　　  ………………6分

　

（2）的定义域为，　　　　　  ………………7分

　 当时，，，所以是偶函数.

　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 ………………9分

　 当时，，

　 所以既不是奇函数，也不是偶函数.　　　　 ………………12分

18.（1）证明：连结AC，则是的中点，在△中，EF∥PA，　　　　…………2分

　　　　且PA平面PAD，EF平面PAD，

　　　　∴EF∥平面PAD　　　　　　　　　　　　　　  …………5分

（2）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD=AD，

　　又CD⊥AD，所以，CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA　　 　 …………8分

又PA=PD=AD，所以△PAD是等腰直角三角形，

且，即PA⊥PD　　　　……………………10分

 又CD∩PD=D， ∴ PA⊥平面PDC，

又PA平面PAD，

所以　平面PAD⊥平面PDC　　　 ……………………12分

19.（1）解：设椭圆C的方程为 （＞＞），……1分

抛物线方程化为，其焦点为，　………………2分

则椭圆C的一个顶点为，即 　　　 ………………3分

由，∴，

所以椭圆C的标准方程为 　　　　………………6分

（2）证明：易求出椭圆C的右焦点， ………………7分

设，显然直线的斜率存在，

设直线的方程为 ，代入方程 并整理，

得　　　　　　………………9分

∴，　　　　　  ………………10分

又，，，，，而 ， ，

即，

∴，，　　　　　　 ……………………12分

所以  ………14分

20.解：（1）由， ，

　 得　 　　　 ①　　　　  ………2分

　　  ， 　　　　　②

即　 ，　　………4分

即  ，

即　　　　　　　　　　　 

∵＞，∴ ，即数列是公差为2的等差数列，……7分

由①得，，解得，

因此 ，数列的通项公式为.　　　　　　　　  ………9分

（2）假设存在等比数列，使得对一切正整数都有

　　　　③

 当时，有　 ④

③－④，得　，　　

由得，　　　　　　　  ………………13分

又满足条件，

因此，存在等比数列，使得对一切正整数都成立.　　　　　　　　　　　　　　　　　　  …………………14分

21.解：（1）由题意得　 …………1分

　　 　　　　　　　　　　　　　

而，所以、的关系为　　　　　　  …………3分

（2）由（1）知，

　　 　　　　　　　　　…………4分

　 令，要使在其定义域内是单调函数，只需在内满足：恒成立.　　　　…………5分

①当时，，因为＞，所以＜0，＜0，

  ∴在内是单调递减函数，即适合题意；…………6分

②当＞0时，，其图像为开口向上的抛物线，对称轴为，∴，

只需，即，

∴在内为单调递增函数，故适合题意.　 …………7分

③当＜0时，，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为，只要，即时，在恒成立，故＜0适合题意.　　　　　　　　　　 

综上所述，的取值范围为.　　　 ……………………9分

（3）∵在上是减函数，

 ∴时，；时，，即，…10分

①当时，由（2）知在上递减＜2，不合题意；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ……………………11分

②当0＜＜1时，由，

又由（2）知当时，在上是增函数，

 ∴＜，不合题意；　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　……………………12分

③当时，由（2）知在上是增函数，＜2，又在上是减函数，

故只需＞，　 ，而，， 即　＞2，　　　解得＞ ，

综上，的取值范围是.　　　　　　　　  ……………………14分