高三三校联考理科数学试题
本试卷试题部分4页，答题卷部分4页，共8页，21小题，满分150分，考试时间为120分钟．
一、选择题（本大题8小题，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）
1．设全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={ x∈R︱x 2+ x－6=0}，则下图中阴影表示的集合为
（ ）
A．{2} B．{3}
C．{－3，2} D．{－2，3}
2．已知命题p: 
x
R，cosx≤1，则 （
）
A．
B．
x∈R，cos x≥1
C． 
D． x∈R，cos x＞1
3.若复数
（
，
为虚数单位）是纯虚数,则实数
的
值为 （ ）
A、-6 B、13 C.
D.
4.若
的展开式中
的系数是80，则实数
的值
是 （ ）
A．-2 B. 
C. 
D. 2
5、 给出下面的程序框图，那么输出的数是 （ ）
A．2450 B. 2550 C. 5050 D. 4900
|
若点
是该目标函数的最优解，则a的取值范围是 （ ）
|
B．
C．
D．
7．若函数
的图象在x=0处的切线l与圆
C: 
相离，则P(a，b)与圆C的位置关系是
（ ）
A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不能确定
8．某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．
黑“电子狗”爬行的路线是
，黄“电子狗”爬行的路线是
，它们都遵循如下规则：所爬行的第i＋2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）． 设黑“电子狗”爬完2008段、黄“电子狗”爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是 （ ）
A． 0
B．1
C． 
D． 
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填写在题横线上）.
9．由曲线 所围成的封闭图形的面积为_________
10．在平面直角坐标系xoy中已知△ABC的顶点A(－6，0) 和C(6，0)，顶点B在双曲线
的左支上，
11．如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）……
|
试用 n表示出第n个图形的边数
.
12、三位同学在研究函数
f (x) = (x∈R)
时，分别给出下面三个结论：
① 函数 f (x)
的值域为 (－1,1)
② 若x1≠x2，则一定有f (x1)≠f (x2)
③ 若规定 f1(x) = f (x)，fn+1(x) = f [ fn(x)]，则
fn(x) = 对任意 n∈N* 恒成立. 你认为上述三个结论中正确的个数有
▲选做题：在下面三道题中选做两题，三题都选的只计算前两题的得分。
13、如图，圆 O 的割线 PBA 过圆心 O，弦 CD 交
PA 于点F，且△COF∽△PDF，PB = OA = 2，则PF = 。
14、极坐标系中，点P
到直线：
的距离是 ．
15、不等式
的解集是
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16、（本小题满分14分）在
中，已知内角
，边
.设内角
,面积为
.
(1) 求函数
的解析式和定义域；
(2) 求的最大值.
17．（本小题满分12分）
旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.
（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率
（2）求恰有2条线路没有被选择的概率.
（3）求选择甲线路旅游团数的期望.
18．（本小题满分12分）
如图，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，E是O1A的中点.
（1）求二面角O1－BC－D的大小；
（2）求点E到平面O1BC的距离.
19．（本小题满分14分）
设
、
分别是椭圆
的左、右焦点.
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求
的最大值和最小值；
（Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得F2C=F2D？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.
20．（本小题满分14分）
设函数
（Ⅰ）求函数
的极值点；
（Ⅱ）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有
，求p的取值范围；
（Ⅲ）证明：
21、（本小题满分14分）
已知函数
的图象经过点
和
，记
（1）求数列
的通项公式；
（2）设
，若
，求
的最小值；
（3）求使不等式
对一切
均成立的最大实数
.
三校联考理科数学答题卷
二、填空题：（本大题共须作6小题，每小题5分，共30分，把答案填写在题横线上）
9、 10、 11、
12、 13、 14、
15、
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
16、
17、
18
19、
20、
21、
三校联考理科数学试题参考答案
一、选择题（本大题8小题，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 答案 | A | C | A | D | A | B | B | B |
二、填空题：（本大题共须作6小题，每小题5分，共30分，把答案填写在题横线上）.
9、 
10、
11、
12、3
▲选做题：在下面三道题中选做两题，三题都选的只计算前两题的得分。
13、3
；14、
。 ； 15、
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16、（本小题满分14分）解：（1）的内角和
…………………1分
……………5分
…………………7分
（2）
……………9分
…………12分
当
即
时，y取得最大值
………………………14分
17．（本小题满分12分）
解：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P1=
…………3分
（2）恰有两条线路没有被选择的概率为：P2=
……6分
（3）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3………………7分
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）= 
P（ξ=3）= 
………………9分
∴ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
|
|
|
|
………………10分
∴期望Eξ=0×
+1×+2×
+3×
=
………………12分
18．（本小题满分12分）
|
（1）过O作OF⊥BC于F，连接O1F，
∵OO1⊥面AC，∴BC⊥O1F，
∴∠O1FO是二面角O1－BC－D的平面角，………………3分
∵OB=2，∠OBF=60°，∴OF=
.
在Rt△O1OF在，tan∠O1FO=
∴∠O1FO=60° 即二面角O1—BC—D为60°………………6分
（2）在△O1AC中，OE是△O1AC的中位线，∴OE∥O1C
∴OE∥O1BC，∵BC⊥面O1OF，∴面O1BC⊥面O1OF，交线O1F.
过O作OH⊥O1F于H，则OH是点O到面O1BC的距离，………………10分
|
∴点E到面O1BC的距离等于………………12分
解法二：（1）∵OO1⊥平面AC，
∴OO1⊥OA，OO1⊥OB，又OA⊥OB，………………2分
建立如图所示的空间直角坐标系（如图）
∵底面ABCD是边长为4，∠DAB=60°的菱形，
∴OA=2，OB=2，
则A（2
，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），O1（0，0，3）………………3分
设平面O1BC的法向量为
=（x，y，z），
则⊥
，⊥
，
∴
，则z=2，则x=－，y=3，
∴=（－，3，2），而平面AC的法向量
=（0，0，3）………………5分
∴cos<，>=
，
设O1－BC－D的平面角为α，
∴cosα=
∴α=60°.
故二面角O1－BC－D为60°. ………………6分
（2）设点E到平面O1BC的距离为d，
∵E是O1A的中点，∴
=（－，0，），………………9分
则d=
∴点E到面O1BC的距离等于。……………12分
19．（本小题满分14分）解：易知
…………2分
设P（x，y），则
………………4分
，
，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；
当
，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4 ……6分
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k
直线l的方程为
……………………8分
由方程组
依题意
…………10分
当
时，设交点C
，CD的中点为R
，
则
又F2C=F2D
…………13分
∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立， 所以不存在直线
，使得F2C=F2D
综上所述，不存在直线l，使得F2C=F2D …………14分
20．（本小题满分14分）解：（1）
，
…………2分
当
上无极值点 …………3分
当p>0时，令
的变化情况如下表：
| x | (0， |
|
|
|
| + | 0 | － |
|
| ↗ | 极大值 | ↘ |
)
从上表可以看出：当p>0 时，有唯一的极大值点
………………7分
（Ⅱ）当p>0时在
处取得极大值
，此极大值也是最大值，
要使
恒成立，只需
， ∴
∴p的取值范围为[1，+∞
…………………10分
（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，
∴
，
∴
…………11分
∴
…………12分
∴结论成立 …………………14分
21、解：（1）由题意得
，解得
，………………2分
………………4分
（2）由（1）得
， 
①
② ①-②得
. 
，………………6分
设
，则由
得随
的增大而减小
时，
又恒成立，
………………9分
（3）由题意得
恒成立
记
，则
………………12分
是随的增大而增大
的最小值为
，
，即
. ………………14分