高三理科数学第一学期期末质量检查试题
数学试题（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），完卷时间120分钟，满分，150分.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=C
Pk(1－P)n－k
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.
1．在复平面内，复数
对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知等差数列{an}中，a6+a10=20，a4=2，则a12的值是 （ ）
A．26 B．20 C．18 D．28
3．函数
(x≤2)的反函数的定义域是 （ ）
A．(－∞，9
B．[9，+∞） C．(0，9
D．(0，+∞)
4．设p：log2 x<0，q：
<l，则p是q的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知sin(α－
)=
，则cos (α +)的值等于 （ ）
A．
B．一 C．一
D．
6．若平面四边形ABCD满足
，则该四边形一定是（ ）
A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
7．若x，y满足
的最大值为L，最小值为l，则L一l的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
8．把四个不同的小球全部随意放人三个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放法种数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若定义在R上的奇函数
满足
，则
等于 （ ）
A．0 B． 1 C．－ D．
|
=2 sin(3x－π)，有下列命题
①其最小正周期为π；
②其图像由y=2sin3x向左平移个单位而得到；
③在 [
]上为单调递增函数，则其中真命题为 （ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
11．已知双曲线
(mn≠0)的离心率为2，且有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为 （ ）
A． B． C． D．
12．若函数y=
在R上可导且满足不等式x
>－恒成立，且常数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是 （ ）
A．a
>b
B．a>b C．a<b D．a<b
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共l 6分.
13．已知函数
处连续，则实数a的值为_________.
14．若直线l：Ax+By+C=0与⊙M：(x一a)2+(y一b)2 = l (M为圆心)相交于P，Q两点
且 PQ =，则
___________.
15．若对于任意实数x，有x3=a0+al(x一2)+a2(x一2)2+a3(x一2)3 ，则a2=_________.
|
为一行写成一个n!行的数阵. 对第i行ai1，ai2，…，ain ，记
b1= 一ai1+2ai2 —3ai3+…+(一1)n n ain，i=l，2，3，…，n!. 例如
1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是l2，所以
bl+b2+…+b6=一l2 +2×12—3×12=一24，那么，在用l，2，3，4，5
形成的数阵中，bl +b2 +…+b120=______.
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本题满分l2分）
在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，4cos2
一cos2C =，a+b=5，c=
.
（1）求角C的大小；
（2）求ΔABC的面积.
18．（本题满分12分）
已知在等比数列{an}中，al+a3=l0，a2+a4=20，设cn=11一log2 a2n.
（I）求数列{cn}的通项；
（Ⅱ）求数列{cn}前n项和Sn的最大值.
19．（本题满分l2分）
在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记ξ=x一2 + y一x.
（I）求随机变量ξ 的最小值，并求事件“ξ 取得最小值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量ξ 的分布列和数学期望.
20．（本题满分12分）
一群猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了，还不过瘾，又吃了两个. 第二天早上又将剩下的桃子吃掉，又吃了两个. 以后每天早上都吃掉前一天剩下的后还要吃两个. 到第七天早上想吃时，只剩下一个桃子了，求第一天共摘了多少个桃子?
21．（本小题满分12分）
如图，F1，F2分别是椭圆
(a>b>0)的左右焦点，M为椭圆上一点， MF2垂直于x轴，且OM与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行，
（I）求椭圆的离心率；
（II）若G为椭圆上不同于长轴端点任一点，求∠F1GF2的取值范围；
（Ⅲ）过F2且与OM垂直的直线交椭圆于P，Q两点. 若
=20，求椭圆的方程.
|
22．（本小题满分14分）
已知：三次函数=x3+ax2+bx+c，在(－∞，－1)，(2，+∞)上单调递增，在(－l，2)上单调递减，不等式>x2—4x+5的解集为(4，+∞)
（I）求函数的解析式；
|
|
（II）若函数
=
－ (m+1)ln (x+m)，求
的单调区间.
参考答案
一、选择题
1.B 2.C 3.C 4.B 5.C 6.C 7.D 8.B 9.D 10.B 11.A 12.B
|
13．1
14．
15．6 16．－1080
三、解答题
17．解：（1）由
整理，得
………………4分
解得
………………6分
（2）由余弦定理得c2=a2+b2－2abcocC，C=
∴
…………8分
又
………………10分
∴
…………12分
18．解：（1）设等比数列{an}的公比为q，则
………………2分
解得
∴
………………4分
…………6分
（Ⅱ）{cn}是以9为首项，以－2为公差的等差数列
∴
………………9分 
所以当n=5时，数列{cn}前n项和Sn的最大值为25 …………12分
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵x、y可能的取值为1、2、3，
∴
，
∴
………………3分
因此，随机变量ξ的最小值为0.
∵有放回抽两张卡片的所有情况有3×3=9种，
∴
答：随机变量ξ的最小值为0，事件“ξ取得最小值”的概率为
…………6分
（Ⅱ）ξ的所有取值为0，1，2，3
∵ξ=0时，只有x=2，y=2这一种情况，
ξ=1时，有x=1，y=1或x=2，y=1或x=2，y=3或x=3，y=3四种情况，
ξ=2时，有x=1，y=2或x=3，y=2两种情况
∴
则随机变量ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P |
|
|
|
|
……………………………………………………10分
因此，数学期望 
…………12分
20．（本小题满分12分）
解：设从第一天开始顺次每天还没有吃的桃子数组成的数列为{an}，由题意可得
………………4分
设
…………8分
∴
解得x=2913，即第一天猴子共摘了2913个桃子 …………12分
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知
∴
…………2分
（Ⅱ）设GF1=m，GF2=n，∠F1GF2=
，则m+n=2a
当且仅当m=n时，
，即∠F1GF2的取值范围为（
…6分
（Ⅲ）由（Ⅰ）得
…………9分
∴
∴椭圆的方程为 
…………12分
22．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）∵
上单调递增，（－1，2）上单调递减
∴
∴
……4分
令
单调递增，（
单调递减
故 
∴c=－11
∴
…………6分
（Ⅱ）∵
∴
…………8分
∴
…………………10分
①当
的定义域为
，
恒成立，
上单调递增；
②当
的定义域为
恒成立，
上单调递增
③当－m<1，即m>－1时，的定义域为，由
，
由
故在（1，2），
上单调递增；在（－m，1）上单调递减 …………12分
所以当
上单调递增；
当
上单调递增；
当
上单调递增；在（－m，1）单调递减 ……14分