08届高三数学二月月考试题
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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．不等式
的解集是 （ A ）
A． 
B． (2,
) C． 
D． 
2．函数
的最小正周期为（ C ）
A．
B．
C．4
D．2
3．平面
平面
的一个充分条件是 （ D ）
A． 存在一条直线
. 
,
． B． 存在一条直线， 
,.
C． 存在两条平行直线
, 
,,
．
D． 存在两条异面直线
，,．
4．已知
满足约束条件
，则
的最小值为（ A ）
A．
B．
C．
D．
5．与曲线
相切于P
处的切线方程是（其中
是自然对数的底（D ）
A． 
B． 
C． 
D． 
6．已知复数
，则
的值是（ D ）
A．8
B．
C．
D．
7、在数列
中，如果存在非零常数T，使得
对任意正整数m均成立，那么就称为周期数列，其中T叫做数列的周期。已知数列
满足
，且
当数列周期为3时，则该数列的前2007项的和为
（ D ）
A . 668 B . 669 C . 1336 D . 1338
8．已知函数
，正实数、
、
成公差为正数的等差数列，且满足
，若实数
是方程
的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是( D )
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题，共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）
9．已知椭圆的离心率为0.5，焦距是2，则椭圆的标准方程是 
或
。
10．已知
，若
的夹角为钝角， 则实数
的取值范围为 
．
11．有三颗骰子A、B、C，A的表面分别刻有1，2，3，4，5，6，B的表面分别刻有1，3，5，7，9，11，C的表面分别刻有2，4，6，8，10，12，则抛掷三颗骰子后向上的点数之和为12的概率是 
12、对于一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数
称为高斯函数或取整函数.若
为数列
的前n项和，则
= 
.
▲选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分
13.（2004春招北京理）在极坐标系中，圆心在
且过极点的圆的方程为
14.（2007深圳一模理）如图，
是半圆
的直径，点
在半圆上，
于点
，且
，设
，
则
＝ 
.
15． 已知
则
的最小值是 
三、解答题（共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题共12分）已知向量
, 
, 
.
（Ⅰ）求
的值;
（Ⅱ）若
, 
, 且
, 求
.
解：（Ⅰ）
, 
,
. ………………………………1分
, 
, ………………………………3分
即 
, 
. ……………………………6分
（Ⅱ）
, ………………………7分
, 
…………………………………9分
, 
, ……………………………10分 
. …………………………………………………………12分
17．（本题满分12分）
一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个． 求：
（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率；
（Ⅱ）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，但取球次数最多不超过4次，求取球次数
的概率分布列及期望．
解：（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率 
………………6分
（Ⅱ）的可能取值为1，2，3，4，
，
，
，
．
的概率分布列为
|
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| P |
|
|
|
|
E=1×
＋2×
＋3×
＋4×
=
．………………………………12分
18．（本题满分14分）
如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．
(Ⅰ)求证：OD∥平面PAB；
(Ⅱ)当k＝
时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；
(Ⅲ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？
解：解法一
(Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC的中点：∴OD∥PA,又AC
平面PAB,∴OD∥平面PAB.
(Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OC=OB,又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC.
取BC中点E,连结PE,则BC⊥平面POE,作OF⊥PE于F,连结DF,则OF⊥平面PBC
∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.
又OD∥PA,∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF.
在Rt△ODF中,sin∠ODF=
,∴PA与平面PBC所成角为arcsin
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,OF⊥平面PBC,∴F是O在平面PBC内的射影.
∵D是PC的中点,若F是△PBC的重心,则B、F、D三点共线,直线OB在平面PBC内的射影为直线BD,∵OB⊥PC.∴PC⊥BD,∴PB=BC,即k=1..反之,,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥,∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心.
解法二：
∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.
以O为原点,射线OP为非负x轴,建立空间坐标系O-xyz如图),设AB=a,则A(
a,0,0).
B(0, a,0),C(-a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h).
(Ⅰ)∵D为PC的中点,∴
又
∥
,
∴OD∥平面PAB.
(Ⅱ)∵k=
则PA=2a,∴h=
∴
可求得平面PBC的法向量
∴cos
.
设PA与平面PBC所成角为θ,刚sinθ=cos(
)=.
∴PA与平面PBC所成的角为arcsin.
(Ⅲ)△PBC的重心G(
),∴
=().
∵OG⊥平面PBC,∴
又
∴
,
∴h=
,∴PA=
,即k=1,反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥.
∴O为平面PBC内的射影为△PBC的重心.
19．（本小题共12分）已知函数
（1）若
，点P为曲线
上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；
（2）若函数
上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a.
解：（1）设切线的斜率为k，则
………2分
又
，所以所求切线的方程为：
…………4分
即
…………6分
（2）
， 要使为单调增函数，必须满足
即对任意的
…………8分
…………10分
而
，当且仅当
时，等号成立， 所以
所求满足条件的a 值为1 …………12分
20． （本小题满分13分） 如图：点A是椭圆： 
短轴的下端点．过A作斜率为1的直线交椭圆于P，点B在y轴上，且BP//
轴，
．
（1） 若B点坐标为（0，1），求椭圆方程；
（2） 若B点坐标为（0，t），求t的取范围．
解：（1）直线
，由
得
所以
，即
将P（3，1）代入椭圆方程得：
故椭圆方程为：
------------------6分
（2） 由
得
，又
，
所以
，由
得
所以P的坐标为
，将P代入椭圆方程得：
，即
因为
，所以
，又
，
所以
．
------------------13分
21．（本小题共14分）
已知二次函数
满足条件：① 
； ② 
的最小值为
.
(1) 求函数的解析式；
(2) 设数列
的前
项积为
, 且
, 求数列的通项公式；
(3) 在(2)的条件下,
若
是
与
的等差中项, 试问数列
中第几项的值最小? 求出这个最小值。
解： (1) 由题知:
, 解得
, 故
. ………3分
(2) 
, ………………………………………………5分
,
, …………………………………7分
又
满足上式.
所以
. …………………8分
(3) 若是与的等差中项, 则
, ………………………9分
从而
, 得
. …………10分
因为是的减函数, 所以
当
, 即
时, 随的增大而减小, 此时最小值为
;
当
, 即
时, 随的增大而增大, 此时最小值为
. …………12分
又
, 所以
,
即数列中最小, 且
. …………14分