08届高三数学第二次模拟考试

（理科）试卷

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．已知全集U=R，集合　 （　  ）

A．{xx<2}　　　　　　　　　 B．{xx≤2}　　　　　 C．{x－1<x≤2}　D．{x－1≤x<2}

2．复数的实部是（　　）

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．3　　　　　　　　　 D．

3．要得到一个奇函数，只需将函数的图象（　　）

A．向右平移个单位　　　　　　　　 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位　　　　　　　　 D．向左平移个单位

4．为了了解某地区高三学生的身体情况，抽查了该地区100名年龄为17．5岁—18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如右图，根据上图可得这100名学生中体重在［56．5，64．5］的学生人数是（　　）

A．20　　　　　B．30　　　　　 C．40　　　　　D．50

5．命题“对任意的”的否定是（　　）

A．不存在　　　　B．存在

C．存在　　　　　　　　　　 D．对任意的

6．如图，将网格中的三条线段沿网格线上下或左右平移，组成一个首尾相连的三角形，则三条线段一共至少需要移动（　　）

A．12格　　　B．11格　　C．10格　　D．9格

7．一水池有两个进水口，一个出水口，每水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．

给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定能确定正确的诊断是　　　　　　　　　　　　  （　　　 ）

A．①　　　　　　　　　　　　B．①②　　　　　　　　　　　　　　C．①③　　　　　　　　　　　　　 D．①②③

8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（　）

Ａ．　　  Ｂ．　　  Ｃ． 　 Ｄ．

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．

9．某校开设门课程供学生选修，其中三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修门，共有__　 ___种不同的选修方案．（用数值作答）

10．在中，，，是边的中点，则∙=　 　　．

11．已知正实数满足等式，给出下列五个等式①，②，③，④，⑤，其中可能成立的关系式是　　　　　  （填序号）

12．在如下程序框图中，已知：，则输出的是_________　　 _.

13.（坐标系与参数方程选做题）设直线参数方程为（为参数），则它的截距式方程为　　　　  。

14．（不等式选讲选做题）函数的最大值是　　　　　 。

15．（几何证明选讲选做题）如图AB是⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，PC=4，PB=2。则⊙O的半径等于　　　　 ；

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

_{16．（本题满分12分）}

在中，分别是三个内角的对边．若，，（1）求角B的余弦值；

(2)求的面积．

17．（本题满分12分）

有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子，红色骰子有两个面是8，四个面是2，蓝色骰子有三个面是7，三个面是1，两人各取一只骰子分别随机掷一次，所得点数较大者获胜.

（1）分别求出两只骰子投掷所得点数的分布列及期望；

（2）求投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少？

18．（本题满分14分）

如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．

(Ⅰ)求证：OD∥平面PAB；

(Ⅱ)当k＝时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；

19．（本题满分14分）

已知函数(x>0)在x = 1处取得极值，其中a,b,c为常数。

（1）试确定a,b的值；

（2）讨论函数f(x)的单调区间；

（3）若对任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范围。

20．（本小题满分12分）

等差数列的前项和为．

（Ⅰ）求数列的通项与前项和；

（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

21．（本题满分14分）

过点作直线交圆M：于点B、C，在BC上取一点P，使P点满足：,

（1）求点P的轨迹方程；

（2）若（1）的轨迹交圆M于点R、S，求面积的最大值。

高三数学（理科）试卷

答题卷

一、选择题：

题号	1	2	3	4	5	6	7	8
答案

二、填空题：

9、　　　　　  ；10、　　　　　  ；11、　　　　　  ；12、　　　　　　 ；

13、　　　　 　　　；14、　　　　　　　 ；15、　　　　　　　 。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

_{16．（本题满分12分）}

17．（本题满分12分）

18．（本题满分14分）

19．（本题满分14分）

20．（本小题满分14分）

21．（本题满分14分）

高三数学（理科）试卷答案

一、选择题：

题号	1	2	3	4	5	6	7	8
答案	B	B	D	C	C	D	A	B

二、填空题：

9、　75　　　　；10、　　 　　 ；11、　②④⑤　　；12、 　；

13、　 　 ；14、　　  2　　 ；15、　　 3　　　　 。

_{16．（本题满分12分）}

16．解： 由题意，得为锐角，， 　　　　　　　3分

　　， 　　　　　　　　6分

由正弦定理得 ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9分

．　 　　　　　　　　　　　　　12分

17．（本题满分12分）

解：（1）设红色骰子投掷所得点数为，其分布如下：

	8	2
P		………………2分

　　　 ；………………………………………………4分

　　　 设蓝色骰子投掷所得点数，其分布如下；

	7	1
P		………………6分

　　　 ………………………………8分

（2）∵投掷骰子点数较大者获胜，∴投掷蓝色骰子者若获胜，则投掷后蓝色骰子点数为7，

红色骰子点数为2.∴投掷蓝色骰子者获胜概率是…………12分

18．（本题满分14分）

解：解法一

(Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC的中点：∴OD∥PA,又PA平面PAB,

∴OD∥平面PAB.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分

(Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OC=OB,又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC.

取BC中点E,连结PE,则BC⊥平面POE,作OF⊥PE于F,连结DF,则OF⊥平面PBC

∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.

又OD∥PA,∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF.

在Rt△ODF中,sin∠ODF=,

∴PA与平面PBC所成角为arcsin　　　　　　　　　　　　　　　　　  1 4分

解法二：

∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.

以O为原点,射线OP为非负x轴,建立空间坐标系O-xyz如图),设AB=a,则A(a,0,0).

B(0, a,0),C(-a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h).

(Ⅰ)∵D为PC的中点,∴又∥,

∴OD∥平面PAB.

(Ⅱ)∵k=则PA=2a,∴h=∴可求得平面PBC的法向量

∴cos.

设PA与平面PBC所成角为θ,刚sinθ=cos()=.

∴PA与平面PBC所成的角为arcsin.

19．（本题满分14分）

解：（I）由题意知，因此，从而．

又对求导得．

由题意，因此，解得．

（II）由（I）知（），令，解得．

当时，，此时为减函数；

当时，，此时为增函数．

因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．

（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需．

即，从而，

解得或．

所以的取值范围为．

20．本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．(满分14分)

解：（Ⅰ）由已知得，，

　　　 故．

　　　 （Ⅱ）由（Ⅰ）得．

　　　 假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则．

　　　 即．

　　　

　　　 ，

　　　 　　　．

　　　 与矛盾．

　　　 所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．

21．（本题满分14分）

21解：（1）令，因为,

所以

　　  ①　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

设过A所作的直线方程为，（显然存在）

又由得

　　　　　　　　　　　　　　　　　  4分

代入①，得　　　　　　　　　　　 

消去k，得所求轨迹为，（在圆M内部）　　　　　　　　　  7分

（2）上述轨迹过为定点（）的直线在圆M内部分

,由得　　　　　　　　　　　　 

则　　　　　　　　　　　　  9分

　　 11分

令，则，而函数在时递增，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

 ，此时，（1）中P的轨迹为　　　　　  14分