08届高三数学（理）上期期中考试卷
本试卷分第I卷（选择题共50分）和第II卷（非选择题共100分）两部分。考试时间为120分钟，满分为150分。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本题共10个小题，每题5分，共50分）
|
，若P（2，3）∈A∩（ ），则 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．设
存在，则常数b的值是 （ ）
A．0 B．1 C．－1 D．e
3．若复数
为虚数单位.）是纯虚数，则实数a的值为 （ ）
A．－2 B．4 C．－6 D．6
4．已知
，则下列结论中正确的是 （ ）
A．函数
的周期为2
；
B．函数的最大值为1；
C．将
的图象向左平移
个单位后得到
的图象；
D．将的图象向右平移个单位后得到的图象；
5．设随机变量服从正态分布N（0，1），
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．球面上有七个点，其中四个点在同一个大圆上，其余再无三点共一个大圆，也无两点与
球心共线，那么经过这七个点的球的大圆有 （ ）
A．15个 B．16个 C．31个 D．32个
7．双曲线
的两焦点为F1、F2，p在双曲线上且满足
，
则△PF1F2的面积为 （ ）
A．1 B．
C．2 D．4
8．若不等式
对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到
|
部分数据丢失，但知道前4组的频数
成等比数列，后6组的频数成等差数
列，设最大频率为a，视力在4.6到
5.0之间的学生数为b，则a，b的值
分别为（ ）
A．0.27，78 B．0.27，83
C．2.7，78 D．27，83
|
|
A B C D
第II卷（非选择题 共100分）
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．已知双曲线
的一条渐近线与直线
垂直，则该双曲线的准线方程是
.
12．已知数列
满足
，且数列的前n项和
，那么n的值为
.
13．在
的展开式中，
的系数为 .
|
满足
，且
的最小值为－6，则常数k= .
15．如图，在长方体AC1中，分别过BC和A1D1的两个
平行平面如果将长方体分成体积相等的三个部分，
那么
=
.
16．对于在区间[a，b]上有意义的两个函数与，如果对于任意
，均有
，则称与在[a，b]上是接近的. 若函数
与函数
在区间[a，b]上非常接近，则该区间可以是
.（写出一个符合条件的区间即可）
三、解答题（共76分）
17．（本小题满分13分）
△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且有sin2C+
cos（A+B）=0.
（1）
，求△ABC的面积；
（2）若
的值.
18．（本小题满分13分）
某公司“咨询热线”电话共有10路外线，经长期统计发现，在8点至10点这段时间内，英才苑外线电话同时打入情况如下表所示：
| 电话同时打入数ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 概率P | 0.13 | 0.35 | 0.27 | 0.14 | 0.08 | 0.02 | 0.01 | 0 | 0 | 0 | 0 |
（1）若这段时间内，公司只安排了2位接线员（一个接线员一次只能接一个电话）.
①求至少一路电话不能一次接通的概率；
②在一周五个工作日中，如果有三个工作日的这一时间内至少一路电话不能一次接通，那么公司的形象将受到损害，现用至少一路电话一次不能接通的概率表示公司形象的“损害度”，求这种情况下公司形象的“损害度”；
（2）求一周五个工作日的这一时间内，同时打入的电话数ξ的期望值.
19．（本小题满分13分）
如图，已知长方体ABCD—A1B1C1D1，AB=2，AA1=1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，英才苑AE⊥BD于E，F为A1B1的中点.
（1）求异面直线AE与BF所成的角；
（2）求平面BDF与平面AA1B1B所成的二面角（锐角）的大小；
|
20．（本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，已知
、
、
，满足向量
与向量
共线，且点
都在斜率6的同一条直线上.
（1）试用
与n来表示
；
（2）设
，且12
，求数中的最小值的项.
21．（本小题满分12分）
已知函数
，存在实数
满足下列条件：①
；②
；③
（1）证明：
；
（2）求b的取值范围.
22．（本小题满分12分）
在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，
. 过点M作MM1⊥y轴于M1，过N作NN1⊥x轴于点N1，
. 记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）.
（1）求曲线C的方程；
（2）证明不存在直线l，使得BP=BQ；
（3）过点P作y轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若
，证明
参考答案
一、选择题（每小题5分，共50分）
1—5：ABCDC 6—10：BAAAD
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．
；12．99；13．207；14．0；15．2；
16．[1，2]或填[3，4]或填它们的任一子区间（答案有无数个）。
三、解答题（共76分）
17．（1）解：由
有
………………2分
由
，……………3分
由余弦定理
……5分
当
…………7分
（2）由
则
，……………………9分
由
……………………13分
18．（本小题满分13分）
解：（1）①只安排2位接线员，则2路及2路以下电话同时打入均能接通，其概率
故所求概率
；……………………4分
②“损害度” 
………………8分
（2）∵在一天的这一时间内同时电话打入数ξ的数学期望为
0×0.13+1×0.35+2×0.27+3×0.14+4×0.85+5×0.02+6×0.01=1.79
∴一周五个工作日的这一时间电话打入数ξ的数学期望等于5×1.79=8.95.……13分
19．（1）连结B1D1，过F作B1D1的垂线，垂足为K.
∵BB1与两底面ABCD，A1B1C1D1都垂直.
FK⊥BB1
∴FK⊥B1D1
FK⊥平面BDD1B1，
B1D1∩BB1=B1
又AE⊥BB1
又AE⊥BD AE⊥平面BDD1B1
因此KF∥AE.
BB1∩BD=B
∴∠BFK为异面直线BF与AE所成的角，连结BK，由FK⊥面BDD1B1得FK⊥BK，
从而△BKF为Rt△.
在Rt△B1KF和Rt△B1D1A1中，由
得：
又BF=
. 
∴异面直线BF与AE所成的角为arccos
.……………………4分
（2）由于DA⊥平面AA1B由A作BF的垂线AG，垂足为G，连结DG，由三垂线定理
知BG⊥DG.
∴∠AGD即为平面BDF与平面AA1B所成二面角的平面角. 且∠DAG=90°
在平面AA1B1B中，延长BF与AA1交于点S.
|
|
AB，
∴A1、F分别是SA、SB的中点. 即SA=2A1A=2=AB.
∴Rt△BAS为等腰直角三角形，垂足G点实为斜边SB的中点F，即F、G重合.
易得AG=AF=SB=，在Rt△BAS中，AD=
∴tan∠AGD=
即平面BDF与平面AA1B1B所成二面角（锐角）的大小为arctan 
.…………9分
（3）由（2）知平面AFD是平面BDF与平面AA1B1B所成二面角的平面角所在的平面.
∴面AFD⊥面BDF.
在Rt△ADF中，由A作AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离.
由AH·DF=AD·AF，得
所以点A到平面BDF的距离为
……………………13分
20．解：（1）∵点
都在斜率为6的同一条直线上，
于是数列
是等差数列，故
……………………3分
共线，
当n=1时，上式也成立.
所以
………………8分
（2）把
代入上式，
得
，
∴当n=4时，取最小值，最小值为
………………13分
21．解：
,
……………………3分
（1）
的两个实根，
∵方程有解，
………………7分
（2）由
，
……………………12分
法二：
22．（1）设点T的坐标为
，点M的坐标为
，则M1的坐标为（0，
），
，于是点N的坐标为
，N1的坐标
为
，所以
由
由此得
由
即所求的方程表示的曲线C是椭圆. ……………………3分
（2）点A（5，0）在曲线C即椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C
无交点，所以直线l斜率存在，并设为k. 直线l的方程为
由方程组
依题意
当
时，设交点
PQ的中点为
，
则
又
而
不可能成立，所以不存在直线l，使得BP=BQ.…………7分
（3）由题意有
，则有方程组
由（1）得
（5）
将（2），（5）代入（3）有
整理并将（4）代入得
，
易知
因为B（1，0），S
，故
，所以
…………12分