高三文科数学下学期统练 (2008.3.4)

第Ⅰ卷(试题)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合U = {(x，y) x∈R，y∈R}，A = {(x，y) 2x－y + m＞0}，B = {(x，y) x + y－n≤0}，那么点P (2，3)∈A∩(_UB)的充要条件是（　 A ）

A．m＞－1且n＜5　B．m＜－1且n＜5　C．m＞－1且n＞5　D．m＜－1且n＞5

2．若平面α⊥平面β，l，m，n为两两互不重合的三条直线，mα，nβ，α∩β=l，且m⊥n或n⊥l，则（　 D　）

A．m⊥l且n∥l　　 B．m⊥l或n∥l　　C．m⊥l且n⊥l　　 D．m⊥l或n⊥l

3．设函数f (x ) = log_ax（a＞0且a≠1），若f () = 50，则f () + f () + … + f ()的值等于（　C　）

A．2500　　　　　　  B．50　　　　　　  C．100　　　　　　 D．2log_a50

4．y =cosx + sinx的图象相邻两对称轴之间的距离为（　B　）

A．　　　　　  B．　　　　　　  C．π　　　　　 D．5π

5．一动圆过点A (0，)，圆心在抛物线y =x²上，且恒与定直线l相切，则直线l的方程为（　D　）

A．x =　　  B．x =　　　　  C．y =－　　　　　 D．y =－

6．如图，椭圆+= 1（a＞b＞0）的离心率e =，左焦点为F，A，B，C为其三个顶点，直线CF与AB交于D，则tan∠BDC的值等于（　 D ）

A．3　　 B．　　  C．－　　  D．－3

『提示』：tan∠BDC =－tan (∠ABC +∠FCB) .

7．某次文艺汇演，要将A、B、C、D、E、F这六个不同节目编排成节目单，如下表：

序号	1	2	3	4	5	6
节目

如果A、B两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有（ B ）

A．192种　　　　　　 B．144种　　　　　 　 C．96种　　　　　　  D．72种

8．已知(1 + x ) + (1 + x )² + … + (1 + x )ⁿ = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ，若a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n－1 = 29－n，那么自然数n的值为（　B  ）

A．3　　　　　　 B．4　　　　　  C．5　　　　　　　 D．6

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

9．已知函数y = log₂x的反函数是y =(x )，则函数y =(1－x )的图象是（　 ）

10．已知实数x，y满足约束条件，则(x + 3)² + y²的最小值是　　　　　  .8

11．已知双曲线（a＞0）的两条渐近线的夹角为，则a = 　　　　 .或

12．函数f (x ) =的最小值为　　　　　　 .

13．函数f (x ) = 3sin (2x－)的图象为C，如下结论中正确的是　　　　　  （写出所有正确结论的编号）①②③.

① 图象C关于直线x =对称；

② 图象C关于点(，0)对称；

③ 函数f (x )在区间(，)内是增函数；

④ 由y = 3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.

14．如图，正方体AC₁的棱长为1，过A点作平面A₁BD的垂线，垂足为点H，有下列四个命题：

① 点H是△A₁BD的垂心；

② AH垂直平面CB₁D₁；

③ 二面角C－B₁D₁－C₁的正切值为；

④ 点H到平面A₁B₁C₁D₁的距离为.

其中真命题的代号是　　　　　　  .（写出所有真命题的代号）①②③

高三数学(文) (考试时间：2008.3.4)

第II卷（答题卡）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题　号	1	2	3	4	5	6	7	8
答　案

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

9．　　　　　　　　　　　　  　　　； 10．　　　　　　　　　　　　　　　  ；

11．　　　　　　　　　　　　　　　  ；12．　　　　　　　　　　　　　　　  ；

13．　　　　　　　　　　　　　　　  ；14．　　　　　　　　　　　　　　　  ；

三、解答题（共6小题，共80分）解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）

15．已知锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且tanB =；

（1）求角B；

（2）求函数f (x ) = sinx + 2sinBcosx（x∈[0，]）的最大值.

解：（1）由余弦定理，有a² + c²－b² = 2accosB，

∴ tanB ==，∴ sinB =，

又△ABC是锐角三角形，故B =.

（2）f (x ) = sinx + 2sinBcosx = sinx +cosx = 2sin (x +)，

∵ 0≤x≤，∴ ≤x +≤，

∴ 当x =时，f (x )的最大值是2.

16．如图，直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的高为3，底面是边长为4且∠DAB =的菱形，AC∩BD = O，A₁C₁∩B₁D₁ = O₁，E是O₁A的中点.

（1）求证：平面O₁AC⊥平面O₁BD；

（2）求二面角O₁－BC－D的大小；

（3）求点E到平面O₁BC的距离.

证明：（1）在直棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，

∵ 底面是菱形，且AC∩BD = O，A₁C₁∩B₁D₁ = O₁，

∴ OO₁∥CC₁，又四棱柱是直四棱柱，

∴ OO₁⊥面ABCD，且AC面ABCD，

∴ OO₁⊥AC，又底面ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，

∴ AC⊥面O₁BD，又AC面O₁AC，故平面O₁AC⊥平面O₁BD.

（2）过O作OF⊥BC于F，连结O₁F，根据三垂线定理，得O₁F⊥BC，

∴ ∠O₁FO为所求角，

∵ 底面是边长为4且∠DAB =的菱形，

∴ OF =，又OO₁ = 3，故tan∠O₁FO =，即∠O₁FO =，

故二面角O₁－BC－D的大小是.

（3）设点A到面O₁BC的距离为h，根据（2）可知，O₁F = 2 ，

∴ ，即×h×BC×O₁F =×O₁O××4²×sin，

∴ h = 3，

又E是O₁A的中点，故E到面O₁BC的距离为.

17．已知数列{a_n}满足递推公式a_n = 2a_n－1 + 1（n≥2），其中a₄ = 15.

（I）求a₁，a₂，a₃；

（II）求数列{a_n}的通项公式；

（III）求数列{a_n}的前n项和S_n.

解：（I）a₁ = 1，a₂ = 3，a₃ = 7；

（II）由a_n = 2a_n－1 + 1，得：a_n + 1 = 2 (a_n－1 + 1)，

∴ {a_n + 1}是首项a₁ + 1 = 2，公比为2的等比数列，

∴ a_n + 1 = 2ⁿ，即a_n = 2ⁿ－1，

（III）S_n =－n = 2^{n +1}－n－2.

18．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点，右焦点为F (1，0)，离心率e =，动点P满足= k（k为正常数）

（I）求椭圆的标准方程；

（II）求动点P的轨迹.

解：∵椭圆的中心在原点，右焦点为F (1，0)，离心率e =，

∴ ，解得：a = 2，c = 1，b =，

故椭圆方程为：= 1.

（II）令P (x，y)，则= (x－1，y)，= (x，y)，

由= k，得：x (x－1) + y² = k.

即(x－)² + y² = k +，

∴ P点的轨迹是以(，0)为圆心，以为半径的圆.

19．每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6）.

（I）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；

（II）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；

（III）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率.

解：（I）设“连续抛掷2次，求向上的数不同”为事件A，则：

　　 P (A ) = 1－=；

（II）设“连续抛掷2次，求向上的数之和为6”的事件为B，则：

　　 P (B) ==；

（III）设“连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次”的事件为C，则：

　　 P (C) ==.

20．设函数f (x ) = ax³ + bx² + cx + 3－a（a，b，c∈R，且a≠0），当x =－1时，f (x )取得极大值2.

（I）用关于a的代数式分别表示b与c；

（II）当a = 1时，求f (x )的极小值；

（III）求a的取值范围.

解：（I）= 3ax² + 2bx + c，

由，得：b = a + 1，c = 2－a，

（II）当a = 1时，f (x ) = x³ + 2x² + x + 2，

此时，= 3x² + 4x + 1 = (x + 1)(3x + 1)，

由＞0，得x＜－1或x＞－，＜0，得－1＜x＜－，

故极小值为f (－) =；

（III）由于f (x )在x =－1处有极大值，且a≠0，

∴ x =－1是= 0的实数根，且方程有两个不等实数根，

∴ 另一个根为，

又x =－1处f (x )取得极大值，

∴ 或，解得：a＞.

故a的取值范围(，+∞).