高三理科数学下学期第五次月考试卷

数学（理科）

时量：120分钟　　满分150分

命题人：赵家早　　　　审题人：阳志长

考生注意事项：

1. 答题前，考生务必将密封线内项目和座次号填写清楚。

3. 请将各题的答案填在答题卷上，考试只交答题卷。

4. 只能用0.5毫米黑色签字笔答题。
5. 答题时不要将答案写在密封线外。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的）。

1、若 则

A、　　 　　　　　　B、　　　　　　　　 C、　　  　 D、

2、函数的图象大致为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　

3、已知函数在区间[－2，2]上的值域不大于2，则函数

　 的值域为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 A、　　　　　　　　　　　　　　B、

　　　 C、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D、

4、已知函数在点处连续，则　　 （　）

A．11　　　　 B．　　　　  C．3　　　　 D．

5、若，，则成立的一个充分不必要条件是

A、　　 B、　　　 C、　　  D、

6、在数列中，＝2，，设为数列的前n项和，则的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　

A、1　　　　 B、2　　　　 C、 3　　　　　 　D、4

7、已知△ABC的三个内角为A、B、C，数列{a_n}是公差为tanA的等差数列，{b_n}是公比为tanB的等比数列。a₃=-4,a₇=4,b₅＝3,b₆=9，则△ABC是三角形

A、等腰　　　 B、锐角　　　 C、直角　　　　D、钝角

8、如图，P为△AOB所在平面上一点，向量，且P在线段AB的垂直平分线上，向量。若a=3，b=2，则c·（a－b）的值为　　　　　　　 

A、5　　 B、3　　 C、　　 D、　　　　　　　　　　

9、已知随机变量ξ只能取5个值：x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，其概率依次为等差数列，则这个数列的公差的取值范围是

A、　　　 　　 B、　　　 C、　　　　　　　D、

10、设函数的定义域为，若存在与无关的正常数使对一切实数均成立，则称为“有界泛函”.给出以下函数：①②③④其中是“有界泛函”的个数为

A、0　　　　　　 B、1　　　　　　C、2　　　　　D、 3

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。将正确答案填在答题卷上对应题号的横线上。

11、的值等于　　　　 。

12、设是两个互相垂直的单位向量，

的值为　　　　　　　  。

13、已知命题p：函数y=log(x²+2x+a)的值域为R，命题q：函数y=－(5－2a)^x是减函数.若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是___________.

14、某市某种类型的出租车，规定3公里内起步价8元（即行程不超过3公里，一律收费8元），若超过3公里，除起步价外，超过部分再按1．5元/公里收费计价，若乘客与司机约定按四舍五入以元计费不找零，下车后乘客付了16元，则乘客乘车里程的范围是　　　　　　　　　 ．

15、若为的各位数字之和，如，，则；记，，…，，，则　　　　　  。

三、解答题（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.

16（本题满分12分）、若函数的图像与直线相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）若点是图像的对称中心，且[0,]，求点A的坐标．

17（本题满分12分）、一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A＝，其中A的各数位中，，出现0概率为，出现1的概率为，例如A=10011，其中，，设，当启动仪器一次时，求：

（1）的概率。

（2）的数学期望。

18（本题满分12分）、在平面直角坐标系中，已知三个点列{A_n}，{B_n}，{C_n}，其中，满足向量与向量共线，且点（n,　 B_n）在方向向量为（1，6）的直线上，

　 （1）试用a与n表示；

　 （2）若a₆与a₇两项中至少有一项是a_n的最小值，试求a的取值范围。

19（本题满分13分）、有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V立方米，每天流入流出湖泊的水量都是r立方米，现假设下雨与蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g(t)表示第t天每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称g(t)为第t天的湖水污染质量分数，已知目前每天流入湖泊的水中有p克的污染物质污染湖水，湖水污染物质分数满足关系式：。

当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；

 求证：当时，湖泊的污染程度越来越严重。

（3）如果政府加大治污力度，使得流入湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时的污染水平的5%?

20（本题满分13分）、已知数列{a_n}中，

　 （Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；

　 （Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，证明；

　 （Ⅲ）设，证明：对任意的正整数n、m，均有

21（本题满分13分）、已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为实常数，设e为自然对数的底数.

　 （Ⅰ）若f（x）在区间（0，e上的最大值为－3，求a的值；

　 （Ⅱ）当a=－1时，试推断方程 f（x）=是否有实数解.

参考答案

1、A　2、D　3、B　4、D　5、A　6、C　7、B　8、C　9、A10、C

11、1　12、2　13、(1,2)  14、　15、11

16、解：（Ⅰ）

　　　　  　　……………………………………………4分

∵的图像与相切.

∴m为的最大值或最小值.　 即或　　……………　6分

（Ⅱ）又因为切点的横坐标依次成公差为的等差数列．所以最小正周期为.

又， 所以　 ……………………………………………8分

即　　 …………………………………………… 9分

令．则　　  ∴ ………10分

由0≤≤得或,因此点A的坐标为、．………12分

17、解：（1）∵，∴表示中出现2个1，2个0。

∴ …………………………………………… 4分

（2）的可能取值1，2，3，4，5

，，，，…9分

…………………………………………………………………………………… 12分

18．解：（1）…2分

又∵{B_n}在方向向量为（1，6）的直线上，

　 ……………………7分

（2）∵二次函数是开口向上，对称轴为的抛物线

又因为在a₆与a₇两项中至少有一项是数列{a_n}的最小项，

∴对称轴……………13分

19、解：

 (1) ……………………………………………………………………4分

（2）由知，所以g(t)为增函数，湖泊的污染程度越来越严重。……………………………………………………………………8分

（3）由p=0及

所以需要经过天才能使湖水的污染水平下降到开始时的污染水平的5%。…………13分

20、解：（1）因为

所以所以　 ……………4分

（2）设则

故

所以所以

所以　…………8分

（3）因为所以

当当所以b₁<b₂<b₃<b₄>b₅>b₆>……又因为

所以对任意的正整数n、m，均有b_n－b_m的最大值为所以对任意的正整数n、m，

均有b_n－b_m<　……………………………………………13分

21、解：（Ⅰ）∵=a+，x∈(0，e)，∈［，+∞………………………………1分

　 （1）若a≤－，则≥0，从而f(x)在(0，e)上增函数.

　　　 ∴f(x)_max =f(e)=ae+1≥0.不合题意. …………………………………………2分

　 （2）若a<－，则由>0a+>0，即0<x<－

　　　 由f(x)<0a+<0，即－<x≤e.

　　　 ∴f(x)=f(－)=－1+ln(－).

　　　 令－1+ln(－)=－3，则ln(－)=－2.∴－=e，

　　　 即a=－e². ∵－e²<－，∴a=－e²为所求. …………………………………6分

　 （Ⅱ）当a=－1时，f(x)=－x+lnx，=－1+=.

　　　 当0<x<1时，>0；当x>1时，<0.

　　　 ∴f(x)在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上减函数. ………………………7分

　　　 从而f(x)=f(1)=－1.∴f(x)=－x+lnx≤－1，从而lnx≤x－1.

　　　 令g(x)=f(x)－==x－lnx－－=x－(1+)lnx－………………………8分

　 （1）当0<x<2时，有g(x)≥x－(1+)(x－1)－=－>0. ………………………10分

　 （2）当x≥2时，g′(x)=1－［(－)lnx+(1+)·］=

　　　　　　　　　 =.

　　　 ∴g(x)在[2，+∞上增函数，∴g(x)≥g(2)= ………………………12分　

　　　 综合（1）、（2）知，当x>0时，g(x)>0，即f(x)>.

故原方程没有实解. ………………………………………………13分