高三数学第一学期期中考试试卷
高三数学试卷（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. http://www.mathedu.cn
1．已知全集
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．
的值为 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列函数中同时满足①周期为
，②是偶函数两个条件的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
，其中
均为非零实数，若
，则
等于 （ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
5．若
，则
（ ）
A．1 B．3 C．7 D．15
6．函数
的反函数是 （ ）
A．
B．
C．
D．
7．设
是等差数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．把函数
的图象向右平移
个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到
原来的
，则所得图象的解析式为 （ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数
在点
处连续，则
的值是 （ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－4
|
的定义域为
，值域为
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知
是
上的减函数，那么实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．设
分别为定义在上的奇函数和偶函数，当
时，
，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
|
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13．函数
对于任意实数
满足条件
，若
，则
____________.
14．若常数
满足
，则
____________.
15．已知实数
满足
，则代数式
的取值范围是_____________.
16．图中一组函数图像，它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配：
① ② ③ ④
情境A：一份30分钟前从冰箱里取出来，然后被放到微波炉里加热，最后放到餐桌上的食物的温度（将0时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻）；
情境B：一个1970年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值（它被一个爱好者收藏，并且被保存得很好）；
情境C：从你刚开始放水洗澡，到你洗完后把它排掉这段时间浴缸里水的高度；
情境D：根据乘客人数，每辆公交车一趟营运的利润；
其中情境A、B、C、D分别对应的图象是 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
设集合
，
，且
，求实数的取值范围.
18．（本小题满分12分）
已知
（1）求
的值；
（2）求
的值.
19．（本小题满分12分）
已知函数
在
与时都取得极值，
（1）求
的值及函数的单调区间；
（2）若对
，不等式
恒成立，求
的取值范围.
20．（本小题满分12分）
设正数数列的前项和满足
（1）求出数列的通项公式；
（2）设
，记数列
的前项和
，求；
（3）求
的值.
21．（本小题满分12分）
某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本
（单位：元
）与上市时间
（单位：天）的数据如下表：
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个函数模型描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系：
，
，
，
，并说明选取的理由；
（2）利用您选取的函数模型，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.
22．（本小题满分14分）
已知曲线C：
过C上一点
作一斜率为
的直线交曲线C于另一点
，点列
（＝1，2，3，···）的横坐标构成数列
，其中
.
（1）求
与
的关系式；
（2）求证：
是等比数列；
（3）求证：
.
23．（附加题，12班同学做）如图，
，点P在由射线
，线段
及
的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且
，
则实数的取值范围是____________；当
时，实数
的取值范围是__________.
24．附加题，12班同学做）已知函数
，数列
中
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求证：
；
（III）求证：
.
高三数学试卷（理科）参考答案
| 一、选择题：每小题5分，共60分
| 二、填空题：每小题4分，共16分
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三、解答题（共74分）
17．解：（Ⅰ）由集合A，得：
……3分
由集合B，得：
……6分
所以要使，需满足：
……9分
则实数的取值范围为：
. ……12分
18．（Ⅰ）（法一）由
，平方得
……2分
故
，∴
……4分
∵
，∴
. ……6分
（法二）由
解得：
……4分
∴
……6分
（Ⅱ）
……9分
……12分
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| ＋ | 0 | － | 0 | ＋ | 0 | |
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19．（Ⅰ）
又当与时都取得极值，得：
，即
……2分
解得：
，故
……4分
令
，解得函数的单调递增区间为：
……5分
令
，解得函数的单调递减区间为：
……6分
（Ⅱ）由（I）得
，则
变化如下表：
……10分
由上表可知：
，即
为上的最大值，故要使不等式恒成立，只需
……11分
解得：
……12分
20．（I）由已知，得：
∴
……1分
整理得：
……3分
又∵
，∴
，解得
……5分
即：数列是以
为首项，2为公差的等差数列
∴通项公式为：
……6分
（II）由（I）得：
……7分
……9分
（III）由（II）得：
……12分
21．（I）由表格数据可知，随着时间的增大，种植成本先减后增；而这些函数中除了之外的三个函数都是单调函数，因而均不适合描述西红柿种植成本与上市时间之间的变化关系.应当选择作为描述西红柿种植成本与上市时间变化关系的函数模型. ……6分
（II）∵
∴
，
，
∴
……9分
∴由二次函数性质可知，当
（天）时，西红柿的种植成本最低，此时的最低种植成本
（元
） ……12分
22．（I）过C：
上一点作斜率为的直线交C于另一点
，
则
……3分
于是有：
. ……4分
（II）记
，则由（I）得：
……6分
因为
，故
，
因此数列是等比数列 ……8分
（III）由（II）可知：
，则
∴ 
……10分
若为奇数：
……12分
于是：①当为偶数时：
②当为奇数时，
为偶数，于是有：
＝
，
综合①②可知原不等式得证. ……14分