高三数学上学期第四次月考试题

数学试卷(理)

时量:120分钟  满分: 150分　

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1、已知直角中，，，则的值为　　

A  　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　　　 D　

2、已知函数的定义域为A，函数值域为B，则　　

A  　　　 B　　　　 C　　　 D　

3、设为平面，为直线，则的一个充分条件为　　　　　　 

A  　　　　　　 B　

C  　　　　　　　　D　

4、圆被直线截得的劣弧所对的圆心角的大小为　　

A  　　　　　　　B　　　　　　 C　 　　　　　　D　

5、过抛物线的焦点F作直线m交抛物线于点A、B，则是　　

A  直角三角形　　　B　锐角三角形　　 C　钝角三角形　　 D　不确定

6、函数的一条对称轴方程为

A  　　　　　B　　　　　 C　　　　　D　

7、已知三棱锥中，，点E、F分别在AC、AD上，使面，则平面BEF与平面BCD所成的二面角的正弦值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

A  　　　　　　B　　　　　　 C　　　　　　　D　

8、对于函数，有三个数满足，且，，那么的值是　　　　　　　　　　　　　　　　 

A  　　　　　　 B　　　　　　　C　　　　　　 D　3

9、若不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　

A  　　　　 B　　　　　　 C　　　　 D　

10、数列满足：，且对于任何的正整数n成立，则的值为　　　　　　　　　　　　　　　 

A　5032　　　　　  B　5044　　　　　 C　5048　　　　　  D　5050

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

11、已知等差数列中，，则　　　　

12、已知，而是一元二次方程的根，则的最大值

为　　　　　 　　　　　

13、已知分别为双曲线的左、右焦点，P是为双曲线左支上的一点，若，则双曲线的离心率的取值范围是　　　　 

14、如图，O、A、B是平面上三点，

向量，在平面AOB

上，P是线段AB的垂直平分线上任意

一点，　 向量，且，

则=　　　　 　　　　　　　　　　 

15、已知二次函数的值域为，则的最　  值为1，的最　　值为1。（填入“大”或“小”）

三、解答题:本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16、（本小题满分12分）已知A、B、C的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（）。

（Ⅰ）若，且，求角的大小；

（Ⅱ）若，求的值。

17、（本小题满分12分）设数列{a_n}的前n项和S_n，且. 其中m为常数，且

（Ⅰ）求证{a_n}是等比数列，并写出它的通项公式；

（Ⅱ）若数列{a_n}的公比，数列{b_n}满足，求.

18、（本小题满分12分）如图，在底面是矩形的四棱锥中，面ABCD，PA=AB=1，BC=2

（Ⅰ）求证：平面PDC平面PAD；

（Ⅱ）若E为PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值；

（Ⅲ）在BC上是否存在一点G，使得D到平面PAG的距离为1？若存在，求出BG；若不存在，请说明理由。　

　

19、（本小题满分13分）已知某企业的原有产品每年投入x万元，获得的年利润可表示为函数：P(x)（万元）。现开发一个回报率高、技术含量高的新产品，据预测，新产品每年投入x万元，获得年利润（万元），新产品的开发从“十五”计划的第一年开始，用两年时间完成，这两年，每年从100万元的生产准备资金中，拿出80万元投入新产品的开发，从第三年开始这100万元就可随意分配且全部用于新旧产品的生产投入。为解决资金缺口，第一年年初向银行贷款1000万元，年利率（不计复利，即先一年的利息不计入下一年的本金）。

（Ⅰ）第五年底一次性向银行偿还本息共计多少万元？

（Ⅱ）从新产品开发的第三年开始，从100万元的生产准备资金中，新旧产品各应投入多少万元，才能使年利润最大？最大为多少？

（Ⅲ）从新旧产品的五年最高利润的总和中拿出70%来，能否还清对银行的贷款？

20、（本小题满分13分）设定义在上的函数满足：

（1）对于任意的a、b，都有，其中：p为正实数；

（2）；　　（3）当时，总有

（Ⅰ）求及的值；（用含p的式子表示）；

（Ⅱ）求证：在上为减函数；

（Ⅲ）设，数列的前n项的和为，当且仅当n=5时，取得最大值，求p的取值范围。

21、（本小题满分13分）如图，以A₁、A₂为焦 点的双曲线E与半径为c的圆O相交于C、D、C₁、D₁，连接CC₁与OB交于点H，且有是圆O与坐标轴的交点，c为双曲线的半焦距.

（Ⅰ）当c=1时，求双曲线E的方程；

（Ⅱ）试证：对任意正实数c，双曲线E的离心率为常数；

（Ⅲ）连接A₁C，与双曲线E交于点F，是否存在实数，使恒成立？若存在试求出的值；若不存在，请说明理由.

第四次月考试题答案

一、选择题：　 BCDAC，　 ABADB

二、填空题　　11、15　　12、　　13、　　

14、　　15、大、小

三、解答题

16、解、（Ⅰ）由已知得：

则　　　　　　　　　　  ……….4分

因为 　 　　　 ……….6分

（Ⅱ）由

得　　 平方得　 　 ………..9分

而

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ………..12分

17、解：（Ⅰ）由，两式相减得

　 …………3分

， ∴{a_n}是等比数列 …………6分

又　 …………6分

（Ⅱ）b₁=a₁=1，，

 ……9分

∴是1为首项为公差的等差数列

∴　 …………12分

18、解、以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建系，

则　

（Ⅰ）易证得CDAD，CDAP　则CD面PAD平面PDC平面PAD …..4分

（Ⅱ）

所以　所求角的余弦值为　　

……………………………………..8分

（Ⅲ）假设存在，设BG=x，则，作DQAG，则DQ平面PAG，

即DG=1，，

故存在点G，当时，D到平面PAG的距离为1。……….12分

19、解、（Ⅰ）五年利息为万元　 本息总计1275元　…….3分

（Ⅱ）设从新产品开发的第三年年初开始每年旧产品投入x万元，

则新产品投入100—x万元，于是每年的利润是：

　　　　　　　　　……….8分

所以新旧产品各应投入74，26万元时年利润最大，最大为675。……….9分

（Ⅲ）　前两年利润万元，

后三年最高利润，　…….11分

而

所以：从新旧产品的五年最高利润中拿出70%能还清对银行的贷款　　…..13分

20、解、（Ⅰ）令a=b=1，则　　  ……..1分

又　　 …….3分

（Ⅱ）设，则

所以

　　即在上为减函数　　　 ……….7分

（Ⅲ）由

所以数列为等差数列，　　　　　　　　  ……….10分

由题意　　　　　　　　　 ………..13分

21、解（Ⅰ）由c=1知B（0，1），

　 即，点C在单位圆上，

设双曲线E的方程为

由点C在双曲线E上，半焦距c=1有：

所以双曲线E的方程为：　　　 …………3分

（Ⅱ）证明：得：

设双曲线E的方程为

① ②

　　　　　 ①代入②，化简整理得

　　　 解得

又

，即双曲线E的离心率是与c无关的常数.　　……8分

（Ⅲ）假设存在实数，使恒成立，

有　点，故有

④

③

由③得　⑤

⑤代入④得化简整理得

即（2）小题的结论得：

故存在实数，使恒成立.　　  ………13分