高三第三次调研考试数学试题
第Ⅰ卷（选择题，共40分）
一．选择题：本大题共8小题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题5分，满分40分．
1．设集合
,则满足
的集合B的个数是（ ）.
A．1 B．3 C．4 D．8
2．如果复数
为纯虚数，那么实数
的值为（ ）.
A．－2 B．1 C．2 D．1或 －2
3．计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一”，如
表示二进制数，将它转换成十进制形式是
= 13，那么将二进制数
转换成十进制形式是（ ）.
A．
B．
C．
D．
4．若函数
的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
| f (1) = －2 | f (1.5) = 0.625 | f (1.25) = －0.984 |
| f (1.375) = －0.260 | f (1.4375) = 0.162 | f (1.40625) = －0.054 |
那么方程
的一个近似根（精确到0.1）为（
）.
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
5．下图是2007年在广州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）.
A．
，
B．，
C．
， D．，
6．定义运算a
b=
，则函数f(x)=12
的图象是（ ）.
7．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：
，点A、B是它的两个焦点，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的最短路程是（ ）.
A．20 B．18 C．16 D．以上均有可能
8．已知函数①
；②
；③
；④
.其中对于
定义域内的任意一个自变量
都存在唯一个自变量
=3成立的函数是（ ）.
A．③ B．②③ C．①②④ D．④
第Ⅱ卷（非选择题，共110分）
二、填空题：本大题共7小题，其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分．每小题5分，满分30分．
9．已知向量
的夹角的大小为
.
10．按下列程序框图运算：
规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算，若x=5，则运算进行
次才停止。
11．下图的矩形，长为5，宽为2. 在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗.
则我们可以估计出阴影部分的面积为
.
12．已知点P(x,y)满足条件
y的最大值为8，则
.
13．(坐标系与参数方程选做题) 曲线的极坐标方程
化为直角坐标方程为 .
14．(不等式选讲选做题) 函数
的最小值为
.
15．(几何证明选讲选做题) 如图，⊙O的直径
=6cm，
是延长线上的一点，过点作⊙O的切线，切点为
，连接
， 若
30°，PC =
。
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．
16.（本小题满分12分）将A、B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：
（I）共有多少种不同的结果？
（II）两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？
(III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率为多少？
17．（本小题满分12分）在△ABC中，已知角A为锐角，且
.
（I）求f (A)的最大值；
（II）若
，求△ABC的三个内角和AC边的长.
18．（本小题满分14分） 如图，P—ABCD是正四棱锥，
是正方体，
其中
（1）求证：
；
（2）求平面PAD与平面
所成的锐二面角
的余弦值；
（3）求
到平面PAD的距离
19．（本小题满分14分）已知圆
：
.
（1）直线
过点
，且与圆交于
、
两点，若
，求直线的方程;
（2）过圆上一动点
作平行于
轴的直线
，设与
轴的交点为
，若向量
，求动点
的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.
20．（本小题满分14分）已知数列{an}的前n项为和Sn，点
在直线
上.
数列{bn}满足
，前9项和为153.
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设
，数列{cn}的前n和为Tn，求使不等式
对一切
都成立的最大正整数k的值.
（Ⅲ）设
，问是否存在
，使得
成立？
若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
21．（本小题满分14分）已知函数
的两条切线PM、PN，切点分别为M、N.
（I）当
时，求函数的单调递增区间；
（II）设MN=
，试求函数的表达式；
（III）在（II）的条件下，若对任意的正整数
，在区间
内，总存在m＋1个数
使得不等式
成立，求m的最大值.
高三第三次调研考试数学试题
参考答案（理科卷）
一、选择题
| 题号 |
|
| 3 |
|
| 6 |
|
|
| 答案 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. 解析：，，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有
个。故选择答案C。
2．解析： 
即 
，故选择答案A
3．解析：
，答案：C
4. 解析：f(1.40625)=－0.054< 0，f(1.4375)=0.162> 0 且都接近0，由二分法可知其根近似于1.4。
答案：C
5．解析：5个有效分为84，84，86，84，87；其平均数为85。利用方差公式可得方差为1.6．答案：C
6. 解析：信息迁移题是近几年来出现的一种新题型，主要考查学生的阅读理解能力．本题综合考查了分段函数的概念、函数的性质、函数图像，以及数学阅读理解能力和信息迁移能力．
当x＜0时,2x＜1, f(x) =2x； x＞0时,2x＞1, f(x) =1． 答案：A
7．解析：由椭圆定义可知小球经过路程为4a，所以最短路程为16，答案：C
8．解析：②④是周期函数不唯一，排除；①式当=1时，
不存在
使得成立，排除；答案：A
二、填空题：
| 题号 |
|
|
|
|
|
|
|
| 答案 |
| 4 |
| -6 |
| 2 |
|
9．解析：．
10．解析：第一次运算得13，第二次运算得37，第三次运算得109，第四次运算得325。
11．解析：利用几何概型
。
12．解析：画图，联立方程
得
，代入
13．解析：由
，得
14．解析：
；
；
；
所以函数的最小值为2
15．解析：连接
，PC是⊙O的切线，∴∠OCP=Rt∠．∵30°，OC=
=3，
∴
，即PC=
．
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．
16.解: （I） 共有
种结果 ………………4分
（II）若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数，则点数之和是3的倍数的结果有:
（1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），（3,3），（4,5），（5,4），
（3,6），（6,3），（6,6）共12种 ………………8分
（III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率是：P＝
…………12分
17、解：（I）
…………3分
∵角A为锐角，
…………………………………4分
取值最大值，其最大值为
……………………6分
（II）由
………………8分
………………10分
在△ABC中，由正弦定理得：
……12分
18、解法一：以
为
轴，
为
轴，
为
轴建立空间直角坐标系…………1分
（1）设E是BD的中点，
P—ABCD是正四棱锥，∴
…………2分
又， ∴
∴
……………………………3分
∴ 
………………………………………………4分
∴ 
即………………………………………5分
（2）设平面PAD的法向量是
，…………………………………………6分
……………………………………………………7分
∴ 
取
得
，………………………………8分
又平面的法向量是
…………………………………………9分
∴ 
∴
…………………10分
（3）
…………………………………………………………………11分
∴
到平面PAD的距离
……………………………………14分
解法二：
（1）设AC与BD交点为O，连PO；∵P—ABCD是正四棱锥，∴PO⊥面ABCD，……1分
∴AO为PA在平面ABCD上的射影， 又ABCD为正方形，∴AO⊥BD，…………3分
由三垂线定理知PA⊥BD，而BD∥B1D1；∴…………………………5分
（2）由题意知平面PAD与平面所成的锐二面角为二面角A-PD-B；……6分
∵AO⊥面PBD，过O作OE垂直PD于E，连AE，
则由三垂线定理知∠AEO为二面角A-PD-B的平面角； ……………………8分
可以计算得，…………………………………………………………10分
（3）设B1C1与BC的中点分别为M、N；则到平面PAD的距离为M到平面PAD的距离；
由VM-PAD=VP-ADM求得
。…………………………………………………14分
19、解（Ⅰ）①当直线
垂直于轴时，则此时直线方程为
，
与圆的两个交点坐标为
和
，其距离为
，满足题意……… 2分
②若直线不垂直于轴，设其方程为
，
即
…………………………………………………… 3分
设圆心到此直线的距离为
，则
，得
∴
，
，
故所求直线方程为
……………………………………5分
综上所述，所求直线为或 …………………… 6分
（Ⅱ）设点
的坐标为
，
点坐标为
,则
点坐标是
…… 7分
∵
，∴
即
，
…………9分
又∵
，∴
…………………………… 10分
由已知，直线m //ox轴，所以，
，…………………………… 11分
∴点的轨迹方程是
，…………………… 12分
轨迹是焦点坐标为
，长轴为8的椭圆，
并去掉
两点。…………………………………………………………… 14分
20、解：（Ⅰ）由题意，得
故当
时，
当n = 1时，
，而当n =
1时，n + 5 = 6，
所以，
…………………………………………………… 2分
又
，
所以{bn}为等差数列，于是
而
因此，
………………4分
（Ⅱ）
…………………………6分
所以，
…………………………………………7分
由于
，
因此Tn单调递增，故
………………………………………………8分
令
…………………………………………9分
（Ⅲ）
①当m为奇数时，m + 15为偶数.
此时
，
所以
………………………………………………11分
②当m为偶数时，m + 15为奇数.
此时
，
所以
（舍去）. ……………………………………13分
综上，存在唯一正整数m =11，使得成立. ……………………14分
20.
解法一：(Ⅰ)因为焦点在x上，所以
,a=3
………2分
在Rt△PF1F2中，
故椭圆的半焦距c=
, ……4分
从而b2=a2－c2=4,
所以椭圆C的方程为
＝1.
……………………6分
(Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）.由圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,
所以圆心M的坐标为（－2，1）.
从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1, …………………………8分
代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0. …………10分
因为A，B关于点M对称.
所以
………………12分
解得
，
…………………………………………………13分
所以直线l的方程为
即8x-9y+25=0. (经检验，符合题意) ………14分
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.………………………8分
设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1
x2且
①
② …………………………9分
由①－②得
③
因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2, …………………………11分
代入③得
＝
，即直线l的斜率为，
…………………………13分
所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意. …14分
21、解：（I）当
…………………1分
.则函数有单调递增区间为
………2分
（II）设M、N两点的横坐标分别为、
，
|
同理，由切线PN也过点（1，0），得
（2）
由（1）、（2），可得
的两根，
…………………………………………………………6分
把（*）式代入，得
因此，函数
…………………8分
（III）易知
上为增函数，
……………10分
由于m为正整数，
.……………………………………………………13分
又当
因此，m的最大值为6. …………………………………………………………14分