高三级文科数学摸底考试试题

数学（文科）

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．　答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将姓名、班级、座号答题卡指定相应的位置上．将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．

2．　选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．

3．　非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，选划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．　考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存．

参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．

　　　　　　　　如果事件互斥，那么．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集则a的值为

　 A．2或－4　　　B．2　　　　　　  C．－4　　　　　　 D．4　　

2．如果命题“若p则q”的逆命题是真命题，则下列命题一定为真命题的是

　 A．若p则q　　 B．若则　　 C．若则　　  D．以上均不对　　

3．下面的说法正确的是：

A．所有单位向量相等　　　　　　　  B．所有单位向量平行

C．　　　 D．∥　

4．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是

A．异面　　　　B. 相交　　　　　 C. 平行　 　　　　　D. 不确定

5．设是方程的解，则属于区间

A. （0，1）　　 B. （1，2）　　　 C. （2，3）　　　　 D.（3，4）

6．函数满足对任意有，则可以是：

　 A．　　　　　　 B．

　 C．－　　　　　 D．－　

7．将一张坐标纸折叠一次，使得点M（0，4）与点N（1，3）重合，则与点P（2004，2010）重合的点的坐标是

　A．（2006，2006）　　B．（2006，2007）

　C．（2007，2006）　　D．（2007，2007）

8．如右面的程序框图，那么，输出的数是

  A．2450　　　　　  B. 2550　　　　　　 

C. 5050　　　　　　 D. 4900

9．等差数列中，，若数

列的前项和为，则的值为

A、14　　　　　　  B、15　　　　 

C、16　　　　　　  D、18

10．定义的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是

　 （1）　　　 （2）　　　 （3）　　　 （4）　　　 （A）　　 （B）

A、　 B、　C、　　D、

 

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分。

11．如图，一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则它落在阴影区域的概率为________．

12．已知 ，则函数的最小值为　　　　 　　 ．

13．知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且．则角的大小是　　　　 ．

请从下面两题中选做一题，如果两题都做，以第一题的得分为最后得分．

14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标方程分别为的两个圆的圆心距为　　　　　　  ．

15．（几何证明选讲选做题）如图，在四边形ABCD中，EF//BC，FG//AD，则　　　　　　  ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知向量，

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，且的值．

17．（本小题满分12分）

某村计划建造一个室内面积为800m²的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？

18．（本小题满分14分）

如图，矩形中，，，为上的点，且.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证；；

（Ⅲ）求三棱锥的体积．

19．（本小题满分14分）

已知圆C：是否存在斜率为1的直线，使被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程，若不存在说明理由．

20．（本小题满分14分）

已知数列a_l，a₂…，a₃₀，其中a_l，a₂…，a₁₀是首项为1公差为1的等差数列；a_l0，a₁₁…，a₂₀是公差为d的等差数列；a₂₀，a₂₁…，a₃₀是公差为d²的等差数列(d>0)．

(Ⅰ)若a₂₀=40，求 d；

(Ⅱ)试写出a₃₀关于d的关系式，并求a₃₀的取值范围;

(Ⅲ)请依次类推，续写己知数列，把已知数列推广为无穷数列．再提出同(2)类似的问题,并进行研究，你能得到什么样的结论？

21．（本小题满分14分）

已知函数上一点P（1，－2），过点P作直线l，

（Ⅰ）求使直线l和y=f（x）相切且以P为切点的直线方程；

（Ⅱ）求使直线l和y=f（x）相切且切点异于P的直线方程y=g（x）；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求上单调时，t的取值范围．

参考答案

一、选择题:　 1．B　2．B　3．D　4．C　5．C　6．C　7．D　8．A　9．C　10．B

二、填空题:　11．　12．　13．　14．　15．1

三、解答题:

16.解: （Ⅰ）解：，　　　　（1分）

　　　　　 （3分）

　　　　　　  　　　　　　　　　　 （4分）

 　　　（6分）　　　　　　　　 

（Ⅱ）解：　　　　　　　  （7分）

　　　 由 　　 得　 （8分）

　　　　　 由 　　　　得　　　　  （9分）

　　　　 　 （11分）

　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　（12分）

 17解: 设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800m².　　　　 （2分）

∴蔬菜的种植面积，　（5分）

∵，

∴，　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　（7分）

∴（m²），　　　　　　　　　　　　　　　　　  （9分）

当且仅当，即时， m².　　　　　　  （11分）

答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648 m².　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（12分）

18解:（Ⅰ）证明：，

　　　　∴，则 (2分)

又，则

∴　 　(4分)

　 （Ⅱ）证明：依题意可知：是中点

 则，而

　　　∴是中点　 (6分)

　　　 在中，

∴　　　　　 (8分)

（Ⅲ）解：

　　　　∴，而

　　　　∴　∴　 (10分)

　　　　是中点

　　　　∴是中点　∴且

　　　　

　　　　∴

　　　　∴中，

　　　　 ∴　　(12分)

　　 ∴　 (14分)

19解: 圆C化成标准方程为：　　(2分)

假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a,b）

由于　①　 (5分)

直线的方程为　　　　(6分)

(7分)

即：　　　　　②　　　　　　 (10分)

由①②得：　　　　　　　　　　　　  (11分)

当　　　 (12分)

当　　  (13分)

故这样的直线l 是存在的，方程为x-y+4=0或x-y+1=0.　　　 (14分)

20解: 解(Ⅰ) a_l0=10,　a₂₀=10+10d=40,　 ∴d=3　　　　　  (2分)

(Ⅱ) a₃₀= a₂₀+10d=10(1+d+d²)　(d≠0) 　　　　　　　　(4分)

a₃₀=10[(d+)²+],

当d∈(-∞, 0)∪(0, +∞)时, a₃₀∈[,+∞].　　　　　　  (7分)

(Ⅲ) 续写数列: 数列a₃₀，a₃₁,…，a₄₀是公差为d⁴的等差数列 　(8分)

一般地,可推广为:无穷数列{ a_n},其中a_l，a₂…，a₁₀是首项为1公差为1的等差数列,

当n≥1时, 数列a_10n，a_10n+1,…，a_10(n+1)是公差为dⁿ的等差数列.　　　　(9分)

研究的问题可以是:试写出a_10(n+1)关于d的关系式,并求a_10(n+1)的取值范围　 (11分)

研究的结论可以是: 由a₄₀= a₃₀+10d³=10(1+d+d²+ d³),

依次类推可得　a_10(n+1)= 10(1+d+d²+…+ dⁿ)=　　10·(d≠1),

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  10(n+1)　　  (d=1)

当d>0时, a_10(n+1)的取值范围为(10, +∞)等　　　　 　　　　　　　　(14分)

21解:（Ⅰ）由过点P且以P（1，－2）为切点的直线的斜率，

所求直线方程：　(3分)

　 （Ⅱ）设过P（1，－2）的直线l与切于另一点

知：

即：

或故所求直线的斜率为：

即　　　　 (8分)

　 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知则

在上单调递增， (11分)

在

得

为两极值点，在时，

上单调递增，

即

(14分)