高三数学文科综合测试题（3）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.

1.　　 已知集合，，则集合P∩Q等于
A．　　　　　　　B．　　　　　　 C．　　D．

2.　　 到两定点A(0，0)，B(3，4)距离之和为5的点的轨迹是
A．椭圆　　　　　　　　　　　　　　 B．直线AB　　　　　　　C．线段AB　　　　　　D．无轨迹

3.　　 右图为函数的图象，其中m、n为常数，则下列结论正确的是
A．m < 0，n > 1　　　　　　　　 B．m > 0，n > 1
C．m > 0，0 < n < 1　　　　　D．m < 0，0 < n < 1

4.　　 设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是
A． a－b ≤ a－c + b－c 　　　　　　　　　　　　　　　B．≤
C．≥2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．≥2

5.　　 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A． (x∈R)　　　　　 B． (x∈R)　C． (x∈R)　　D． (x∈R)

6.　　 正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是CC₁、C₁D₁的中点，则异面直线EF和BD所成的角的大小为
A．75°　　　　　　　　　　　　　　 B．60°　　　　　　　　　　C．45°　　　　　　　　　D．30°

7.　　 某路段检查站监控录象显示，在某时段内，有1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如右图的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于90km/h 的约有
A．100辆　　　　　　　　　　　　　B．200辆
C．300辆　　　　　　　　　　　　 D．400辆

8.　　 设，(0，1)，则满足条件0≤≤1，0≤≤1的动点P的变化范围(图中阴影部分含边界)是

9.　　 若两个函数的图像经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列三个函数：，，，则
A．为“同形”函数
B．为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数
C．为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数
D．为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数

10.  在某次数学测验中，学号i (i = 1，2，3，4)的四位同学的考试成绩f (i)∈{90，92，93，96，98}，且满足f (1) < f (2) < f (3) < f (4)，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为
A．15种　　　　　　　　　　　　　　B．10种　　　　　　　　　 C．5种　　　　　　　　　 D．4种

二、填空题:本大题共5个小题，共25分，将答案填写在题中的横线上.

11.  的展开式中常数项是　　．

12.  已知等比数列{a_n}中，，则它的前15项的和S₁₅ =　　．

13.  若一条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，则我们称此曲线为“双重对称曲线”．有下列四条曲线：
　　①；②；③；④．
其中是“双重对称曲线”的序号是　　．

14.  某商场在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：
①如一次购物不超过200元，不给予折扣；
②如一次购物超过200元不超过500元，按标价给予九折(即标价的90%)优惠；
③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的剩余部分给予八五折优惠．
某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则他应该付款为　　元．

15.  设函数，给出下列命题：
①f (x)有最小值；
②当a = 0时，f (x)值域为R；
③当a > 0时，f (x)在［2，+∞)上有反函数；
④若f (x)在区间［2，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是a≥－4．
其中真命题的序号为　　．

高三数学文科综合测试题（3）

班级:　　　　　　　　 姓名:　　　　　　　 学号:

第Ⅱ卷

一、选择题（每小题5分，共50分）

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案

二、填空题答题卡（每小题5分，共25分）

11._________________　　　　　　　　　　 12._________________

13._________________　　　　　　　　　　 14._________________

15._________________　　　

三、解答题:本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．(本大题满分12分)设，已知，，其中．
(1)若，且a = 2b，求的值；
(2)若，求的值．

17．(本大题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD = AB = a，E是PB的中点，F为AD中点．
(1)求异面直线PD、AE所成的角；
(2)求证：EF⊥平面PBC．
(3)求二面角F－PC－E的大小．

18．(本大题满分12分)已知10件产品中有3件是次品．
(1)任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；
(2)为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？

19．（本小题满分12分）设{}为等差数列，{ }为各项为正的等比数列，且，，，分别求出数列{}和{}的前10项和及．

20．(本大题满分13分)在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，向量e = (0，1)，点B为直线 上的动点，点C满足，点M满足，．
(1)试求动点M的轨迹E的方程；
(2)试证直线CM为轨迹E的切线．

21．(本大题满分14分)已知函数，，h (x) = kx + 9，又f (x)在x = 2 处取得极值9．
(1)求a、b的值；
(2)如果当时，f (x)≤h (x)≤g (x)恒成立，求k的取值范围．

高三数学文科综合测试题（3）

参考答案及评分标准

一．选择题：CCDCA　　BCABC

二．填空题：11．20　　12．11　　13．①③　　14．582.6　　15．②③

三．解答题：

16．(1)解：∵，∴a = (1，)，b = (，) 2分
　　由a = 2b，得，∴(k ÎZ)　　　　　　　　　 6分

(2)解：∵a·b = 2cos²
　　　 　　 　　=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分
　　∴，即 　　　　　　　　10分
　　整理得，∵，∴．　　　　　12分

17．方法一
　　(1)解：以D为原点，以直线DA、DC、DP分别为x轴、y轴、z轴,建立直角坐标系，
　　则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，P(0，0，a)，E　　　　2分
　　∴，，
　　又∵，故
　　故异面直线AE、DP所成角为．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

(2)解：∵F∈平面PAD，故设F(x，0，z)，则有
　　∵EF平面PBC，∴且，即
　　又∵，
　　∴，从而，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分
　　∴，取AD的中点即为F点．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

(3)解：∵PD⊥平面ABCD，∴CD是PC在平面ABCD上的射影．
　　又∵CD⊥BC，由三垂线定理，有PC⊥BC．
　　取PC的中点G，连结EG，则EG∥BC，∴EG⊥PC
　　连结FG，∵EF⊥平面PBC，∴EG是FG在平面PBC上的射影，且PC⊥EG，
　　∴FG⊥PC，∴∠FGE为二面角F－PC－E的平面角　　　　　　　　　　　　　　　　　10分
　　∵，∴
　　∴，∴二面角F－PC－E的大小为．　　 12分

方法二
　　(1)解：连AC、BD交于H，连结EH，则EH∥PD，
　　∴∠AEH异面直线PD、AE所成的角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分
　　∵，
　　∴，即异面直线AE、DP所成角为．　　　　 4分

(2)解：F为AD中点．
　　连EF、HF，∵H、F分别为BD、AD中点，∴HF∥AB，故HF⊥BC
　　又EH⊥BC，∴BC⊥平面EFH，因此BC⊥EF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分
　　又，
　　E为PB中点，∴EF⊥PB，∴EF⊥平面PBC．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

(3)解：∵PD⊥平面ABCD，∴CD是PC在平面ABCD上的射影．
　　又∵CD⊥BC，由三垂线定理，有PC⊥BC．
　　取PC的中点G，连结EG，则EG∥BC，∴EG⊥PC
　　连结FG，∵EF⊥平面PBC，∴EG是FG在平面PBC上的射影，且PC⊥EG，
　　∴FG⊥PC，∴∠FGE为二面角F－PC－E的平面角　　　　　　　　　　　　　　　　　10分
　　∵，
　　∴，∴二面角F－PC－E的大小为．　　　　　12分

18．(1)解：任意取出3件产品作检验，全部是正品的概率为　　　　　3分
　　至少有一件是次品的概率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

(2)设抽取n件产品作检验，则3件次品全部检验出的概率为　　　　　　8分
　　由得：
　　整理得：，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分
　　∵n∈N^*，n≤10，∴当n = 9或n = 10时上式成立
　　∴任意取出3件产品作检验，其中至少有1件是次品的概率为；为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取9件产品作检验　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

19、；

20．(1)解：设B (，m)，C(x₁，y₁)），
　　由，得：2(x₁，y₁) = (1，0) + (－1，m)，解得x₁ = 0， 2分
　　设M(x，y)，由，得，　　 4分
　　消去m得E的轨迹方程．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

(2)解：由题设知C为AB中点，MC⊥AB，故MC为AB的中垂线，MB∥x轴，
　　设M()，则B(－1，y₀)，C(0，)，
　　当y₀≠0时，，MC的方程　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分
　　将MC方程与联立消x，整理得：，
　　它有唯一解，即MC与只有一个公共点，
　　又，所以MC为的切线．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11分
　　当y₀ = 0时，显然MC方程x = 0为轨迹E的切线
　　综上知，MC为轨迹E的切线．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　13分

21．(1)解：
　　由已知，解得a = －2，b = －11　　　　　　　4分

(2)解：由h (x)≤g (x)得：kx≤
　　当x = 0时，不等式恒成立
　　当－2≤x < 0时，不等式为k≥　　①
　　而≤0，∴要①式恒成立，则k≥0　　　　　6分
　　当x > 0时，不等式为k≤　①，而≥12
　　∴要①恒成立，则k≤12
　　∴当x∈[0，+∞)时，h (x)≤g (x)恒成立，则0≤k≤12．　　　　　　　　　　　　　　8分
　　由f (x)≤h (x)得：
　　当x = 0时，9≥－11恒成立
　　当－2≤x < 0时，k≤
　　令，当－2≤x < 0时，t (x)是增函数，∴t (x)≥t (－2) = 8
　　∴要f (x)≤h (x)在－2≤x < 0恒成立，则k≤8　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分
　　由上述过程可知，只要考虑0≤k≤8
　　
　　当x∈(0，2]时，，当x∈(2，+∞)时，
　　故在x = 2时有极大值，即在x =　2时有最大值f (2)=9，即f (x)≤9
　　又当k > 0时，h (x)是增函数，∴当x∈[0，+∞)时，h (x)≥9，f (x)≤h (x)成立
　　综上，f (x)≤h (x)≤g (x)恒成立时k的取值范围是0 < k ≤8．　　　　　　　　　　14分