高三数学文科综合测试题（4）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.
1、若集合M=
，N=
，那么
为
A．
B．
C．
D．
2、已知函数
，则
的值是
A．2 B．－3 C．－2 D．3
3、若
，则
＝
（A）2－sin2x （B）2＋sin2x （C）2－cos2x （D）2＋cos2x
4、已知函数
，则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为
A．
B．
C．
D．
5、设长方体的三条棱长分别为a、b、c，若长方体的所有棱的长度之和为24，一条对角线
长为5，体积为2，则
A．
B．
C．
D．
6、在等比数列{an}中，an>0，且a2=1－a1，a4=9－a3，则a4+a5=
A．16 B．27 C．36 D．81
7、一正四棱锥的高为2
，侧棱与底面所成的角为45°，则这一正四棱锥的斜高等于
A．2
B．2
C．4 D．2
8、给出下列定义；连结平面点集内两点的线段上的点都在该点集内，则这种线段的最大长度就叫做该平面点集的长度.已知平面点集M由不等式组
给出，则M的长度是
A．
B．
C．
D．
9、现有两名教师和4名学生排成一排拍照，要求教师不站在两边且考教师两边都有学生，有多少种不同的排法 （ ）
A．256 B．144 C．136 D．332
10、若直线
，始终平分圆
的周长，则
的最小值为
A．1 B．5 C．
D．
二、填空题:本大题共5个小题，共25分，将答案填写在题中的横线上.
11．若函数
恰在[－1，4]上递减，则实数a的取值范围是
| |
的展开式的所有项的系数和为M，展开式的所有二项式的系数和为N，若M－N=992，则n=
13．将
的菱形ABCD，沿对角线BD折起，使A、C的距离等于BD，则二面角A—BD—C的余弦值是
14．已知椭圆
内有一点P（1，－1），F是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M，使
的值最小，则点M坐标
15．已知函数
，则此函数的单调递减区间是
高三数学文科综合测试题（4）
班级: 姓名: 学号:
第Ⅱ卷
一、选择题（每小题5分，共50分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 |
二、填空题答题卡（每小题5分，共25分）
11._________________ 12._________________
13._________________ 14._________________
15._________________
三、解答题:本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．(本大题满分12分)已知函数
（1）求函数
的最小正周期和单调递减区间；
（2）函数的图象可以由函数
的图象经过怎样的变换得到？
17．(本大题满分12分) 数列{an}是公比为q的等比数列，a1＝1，an+2＝
（n∈N*）
⑴求{ an }的通项公式；
⑵令bn＝n an，求{bn
}的前n项和Sn。
18．(本大题满分12分) 甲、乙两个排球队进行比赛，已知每局甲获胜的概率为0.6，比赛是采用五局三胜制。（保留三位有效数字）
（1）在前两局乙队以2 ：0领先的条件下，求最后甲、乙队各自获胜的概率。
（2）求甲队获胜的概率。
19．（本小题满分12分）如图：已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，
为等腰直角三角形，
，且AB=AA1，D，E，F分别是B1A，CC1，BC的中点
|
（2）求证B1F⊥平面AEF
（3）求二面角B1—AE—F的正切值。
20．(本大题满分13分) 无论m为任何实数，直线
与双曲线
恒有公共点
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。
（2）若直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线交于P，Q两点，并且满足
，求双曲线C的方程。
21．(本大题满分14分) 已知f(x)=x3+bx2+cx+2.
(Ⅰ)若f(x)在x=1时，有极值-1，求b、c的值；
(Ⅱ)当b为非零实数时，证明f(x)的图像不存在与直线(b2-c)x+y+1=0平行的切线；
(Ⅲ)记函数f′(x)(-1≤x≤1)的最大值为M，求证：M≥
.
高三数学文科综合测试题（4）
参考答案及评分标准
一．选择题：BCDDA BBBBD
二．填空题：11．{－4} 12．5 13．1/3 14．
15．
三．解答题：
16．（1）的最小正周期为：
的单调递减区间为：
（2）将函数的图象向左移动
再向上移动个单位得到。
17．⑴∵{an}为公比为q的等比数列，an+2＝（n∈N*）
∴an·q2＝
…………2分
即2q2―q―1＝0
解得q＝－
或 q＝1
…………4分
∴an＝
或an＝1
…………6分
⑵当an＝1时，bn＝n， Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝
…………8分
当an＝时bn＝n·
Sn＝1＋2·（－）＋3·
＋…＋（n－1）·
＋n· ①
－ Sn＝（－）＋2·＋…＋（n－1）·＋n
②
…………10分
①—②得 Sn＝1＋
＋＋…＋－n
＝
－n·
＝
Sn＝
…………12分
18．（1）设最后甲获胜为事件A，乙获胜为事件B
（2）设甲获胜为事件C，其比分可能为3：0，3：1，3：2
19、（1）（2）略（3）
20．（1）联立
，得
当
时，
，直线与双曲线无交点，矛盾
直线与双曲线恒有交点，
恒成立
（2）
，则直线l的方程
联立得
整理得：
所求的双曲线方程为
21．(Ⅰ)∵f′(x)=3x2+2bx+c，
由f(x)在x=1时，有极值-1得
(2分)
即
(3分)
当b=1,c=-5时 f′(x)=3x2+2x-5=(3x+5)(x-1)，
当x>1时，f′(x)>0，
当-
<x<1时，f′(x)<0.
从而符合在x=1时，f(x)有极值，∴
(4分)
(Ⅱ)假设f(x)图像在x=t处的切线与直线
(b2-c)x+y+1=0平行，∵f′(t)=3t2+2bt+c，
直线(b2-c)x+y+1=0的斜率为c-b2，∴3t2+2bt+c=c-b2,(7分)
即3t2+2bt+b2=0.∵Δ=4（b2-3b2）=-8b2,
又∵b≠0, ∴Δ<0.从而方程3t2+2bt+b2=0无解,
因此不存在t，使f′(t)=c-b2，
却f(x)的图像不存在与直线(b2-c)x+y+1=0平行的切线.(9分)
(Ⅲ)证法一：∵f'(x)=3(x+
)2+c-
，
①若->1，则M应是f′(-1)和f′(1)中最大的一个，
∴2M≥f′(-1)+f′(1)=3-2b+c+3+2b+c≥4b>12，
∴M>6，从而M≥. (11分)
②当-3≤b≤0时，2M≥f′(-1)+f′(-)
=3-2b+c+c-≥-2b+3=
(b-3)2≥3，所以M≥.
③当0<b≤3时，2M≥f′(1)+f′(-)=3+2b+c+c-≥+2b+3
=(b+3)2>3，∴M≥.
综上所述，M≥. (14分)
证法二：f′(x)=3x2+2bx+c的顶点坐标是(
)，
①若->1，则M应是f′(-1)和f′(1)中最大的一个，
∴2M≥f′(-1)+f′(1)=3-2b+c+3+2b+c≥4b>12，
∴M>6，从而M≥. (11分)
②若-≤1，则M是f′(-1)、f′(1)、
中最大的一个.
(i)当c≥-时，2M≥f′(1)+f′(-1))≥f′(1)+f′(-1)=6+2c≥3，∴M≥.
(2)当c<-时，M≥
-c≥-c>，
综上所述，M≥成立. (14分)
证法三：∵M是f′(x)，x∈[-1，1]的最大值，
∴M≥f′(0)，M≥f′(1)，M≥f′(-1).(11分)
∴4M≥2f′(0)+f′(1)+f′(-1)≥f′(1)+f′(-1)-2f′(0)=6，即M≥. (14分)