高三（理科）数学第一学期期末水平测试试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分. 考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡密封线内。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题木指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。
参考公式：锥体的体积公式
其中
是锥体的底面积，
是锥体的高.
柱体的体积公式
，其中是柱体的底面积，是柱体的高.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．已知等差数列{an}是单调数列，且a1,a3,a4,成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则
的值为 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．不能确定
|
A．
B．
C．
D．不确定
3．已知两向量
的夹角为60°，且
在△ABC中，
，
则A的值为 （ ）
A．120° B．30° C．150° D．60°
|
（收支差额=车票收入+财政补贴-支出费用；假设财政
补贴和支出费用与乘客量无关），在这次公交、地铁票
价听证会上，有市民代表提出“增加财政补贴，票价实
行8折优惠”的建议.则下列四个图像反映了市民代表
建议的是 （ ）
|
A． B． C． D．
5．设集合
则
（ ）
A．{
} B．{
}
C．{
} D．空集
6．定义
⊙
则a⊙(a⊙a)等于 （ ）
A．-a B．
C．a D．
7．已知
是定义在R上的函数，且满足
，则“为偶函数”是“2为函数的一个周期”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知双曲线
的右顶点为E，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A、B两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率
是 （ ）
A．
B．2 C．或2 D．不存在
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13—15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．
9．已知A（2，1），B（—2，3），以AB为直径的圆的方程为______________.
10．如图所示，墙上挂有一块边长为2的正方形木板，上面画有振幅为1的正弦曲线半个周期的图案（阴影部分）．某人向此板投镖，假设每次都能击中木板并且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是_________.
11．观察：①tan10°·tan20°+tan20°·tan60°+tan60°·tan10°=1；
②tan15°·tan25°+tan25°·tan50°+tan50°·tan15°=1；
③tan13°·tan27°+tan27°·tan50°+tan50°·tan13°=1．已知以上三式成立且还有不少类似的等式成立，请你再写出一个这样的式子：______________．
|
D、E，它们两两之间可以相互接发信息，由于功
率有限，卫星及每个科研机构都不能同时向两处
发送信息（例如A不能同时给B、C发信息，它
可先发给B，再发给C），它们彼此之间一次接发
信息的所需时间如右图所示．则一个信息由卫星
发出到四个科研机构都接到该信息时所需的最短
时间为________．
13（选做题）．在极坐标系中，以ρcosθ+1=0为准线，（1，0）为焦点的抛物线的极坐标方程为_______________．
14（选做题）．不等式
的解集非空，则
的取值范围为___________．
15（选做题）．在圆内接△ABC中，AB=AC=
，
Q为圆上一点，AQ和BC的延长线交于点P（如
图），且AQ：QP=1：2，则AP=_________．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出相应文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（12分）已知：函数
的周期为
，且当
时，函数的最小值为0．
（1）求函数的表达式；
（2）在△ABC中，若
17．（12分）某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是
，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立．
（1）求该学生考上大学的概率．
（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．
18．（14分）如图，已知几何体ABC-DEF中，△ABC及△DEF都是边长为2的等边三角形，四边形ABEF为矩形，且CD=AF+2，CD∥AF，O为AB中点．
（1）求证：AB⊥平面DCO．
（2）若M为CD中点，AF=x，则当x取何值时，使AM与平面ABEF所成角为45°？试求相应的x值．
（3）求该几何体在（2）的条件下的体积．
19．（14分）已知函数
（m、n∈R，m≠0）的图像在（2，
）处的切线与x轴平行．
（1）求n，m的关系式并求的单调减区间；
（2）证明：对任意实数
关于x的方程：
恒有实数解．
（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数是在闭区间[a,b]上连续不断的函数，且在区间（a,b）内导数都存在，则在（a,b）内至少存在一点x0，使得
如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：
当
时，
（可不用证明函数的连续性和可导性）
20．（14分）已知数列
的前n项和为
，且满足
（1）求
（2）求
（3）若
求证：
.
21．（14分）椭圆G：
的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为
（1）求此时椭圆G的方程；
（2）设斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P（0，
）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．
参考答案
1．B 2．A 3．C 4．B 5．A 6．C 7．C 8．B
9．
10．
11．6
12．tan5°·tan 20°+ tan 20°·tan 60°+ tan 60°·tan 5°=1
13．
14．
15．15
16．（1）截：
3分
依题意函数的周期为， 4分
即
5分
的最小值为m,
6分
即
7分
（2）
而∠C∈(0，π), ∴∠C=
9分
在Rt△ABC中，
11分
12分
17．（1）记“该生考上大学”的事件为事件A，其对立事件为
，则
2分
4分
答：该生考上大学的概率为
5分
（2）参加测试次数ξ的可能取值为2，3，4，5， 6分
10分
故
的分布列为：
|
| 2 | 3 | 4 | 5 |
| P |
|
|
|
|
12分
18．解：（1）因为△ABC为等边三角形，
O为AB的中点，故AB⊥CO，1分
又CD∥AF，在矩行ABEF中AB⊥AF，
所以AB⊥CD，2分
由CD∩CO=C，证得AB⊥平面DCO 4分
（2）设I为EF中点，连接OI，依题意，四边形OIDC为等腰梯形 5分
在梯形OIDC中过O作OH⊥CD垂足为H，过M作MG∥OG，则MG⊥OI，由（1）可知：面OIDC⊥面ABEF
因为OIDC∩面ABEF=OI，所以MG⊥面ABEF 6分
连接AC，则∠MAG等于直线AM与平面ABEF所成角 7分
因为在正三角形ABC中，AO=1，CO=
，在等腰梯形OIDC中，CH=1，OG=0.5x；
所以在直角三角形OCH中，
，即
在直角三角形AOG中，
8分
由
10分
（3）连接AH、BH，由（1）（2）可知，该几何体的体积等于两个以三角形ABH为底面，CH为高的三棱锥的体积与一个以三角形ABH为底面，AF为高的三棱柱的体积之和 12分
△ABH=
14分
解二：建坐标系（略）
19．解：（1）因为
1分
由已知
2分
即
当
3分
当
4分
综上所述：当
当
5分
（2）
6分
可化为
令
7分
则
，
，
即
又因为
所以
，即
8分
故
在区间
内必有解，即关于x的方程
恒有实数解 9分
（3）令
10分
则
符合拉格朗日中值定理的条件，即存在
使
11分
因为
12分
即
14分
20．解：（1）
3分
（2）由已知：当n>1时，
5分
当n为偶数时，
6分
当n为奇数时，
7分
（此处等价于证出数列为等差）
故
对任意正整数n都成立，即 8分
（3）
11分
所以
14分
21．解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心 1分
故该椭圆中
即椭圆方程可为
3分
设H（x,y）为椭圆上一点，则
4分
若
，则
有最大值
5分
由
（舍去） 6分
若
7分
由
∴所求椭圆方程为
8分
（2）设
，则由
两式相减得
……③
又直线PQ⊥直线m ∴直线PQ方程为
将点Q（
）代入上式得，
……④ 11分
由③④得Q（
） 12分
而Q点必在椭圆内部
，
由此得
故当
时，E、F两点关于点P、Q的直线对称 14分