08届高三(理科)数学摸底测试试题

第一部分 选择题 (共40分)

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 复数的虚部为（　　）

  . 4　　　　.—4　　　　　　　　　. 　 　　　　　　　.  

2． 设集合，，那么“”是“”的（　 ）

A．充分而不必要条件　　　　　　　　　　　B．必要而不充分条件

C．充分必要条件　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

3． 若曲线所围成的图形的面积为2e,则k的值为（　 ）

. e　 .　　.1　　.2

4. 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图

如右图所示，时速在的汽车大约有

.辆　　　 . 辆　　.辆　 　　.80辆

5．已知不等式，则的解集为（　）　

6　已知函数，则的极小值为（　 ）

 A． 　　　 B。　　　　  C。　　　　  D。

7． 已知函数的图象与的图象在轴的右侧交点按从横坐标由小到大的顺序记为，则＝

.　　 .　　　　 .　　.

8. 若定义在R上的减函数,对于任意的,不等式成立.且函数的图象关于点对称,则当 时,的取值范围

.　　  　.　　　 .　 　　.

  　　　　　　　第二部分　非选择题(共110分)

二.填空题：每小题5分, 共30分.

9. 的离心率等于__________,与该椭圆有

共同焦点，且一条渐近线是的双曲线方程是

___________________.

10. 运行右边算法流程，当输入x的值为_____时，输出的值为4。

11. 下图是一个物体的三视图，根据图中尺寸，

它的体积为　　　　 .

12. 设是等比数列的前项和,　对于等比数列,有命题若成等差数列,则成等差数列成立；对于命题：若成等差数列, 则　　　　　　　　　　 ________________成等差数列.请将命题补充完整,使它也是真命题.(只要一个符合要求的答案即可)

选做题：在下面三道小题中选做两题，三题都选只计算前两题的得分.

13. 若不等式无实数解则a的取值范围是　　　　　　　.

14.在直角坐标系中，已知曲线的参数方程是（是参数），若以为极点，轴的正半轴为极轴，则曲线的极坐标方程可写为________________.

15. 已知：如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点且与直径CT交于点D，CD＝2，AD＝3， BD＝6，则PB＝　　　　　　　．

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本题满分12分)

如图,在中,.

(Ⅰ)求;

(Ⅱ) 记的中点为,求中线的长.

17．（本小题满分12分）

袋中装着标有数字1，2，3的小球各2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等．

（Ⅰ）求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；

（Ⅱ）用表示取出的2个小球上的数字之和，求随机变量的概率分布与数学期望

18. (本题满分14分)

如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面，且,若、　分别为、的中点.

(Ⅰ)  //平面；

(Ⅱ) 求证:平面平面；

(Ⅲ) 求二面角的正切值.

19. (本题满分14分)

设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．

20.　　　  (本题满分14分)

已知函数，若对任意，且，都有．

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）对于给定的实数，有一个最小的负数，使得时，都成立，则当为何值时，最小，并求出的最小值．

21. (本题满分14分)

在数列中，，其中．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和；

（Ⅲ）证明存在，使得对任意均成立．

08届高三(理科)数学摸底测试试题

数学(理)试题答题卷　　　　　

第二部分　非选择题答题卷

二、填空题（每小题5分，共30分）：

9.___________，___________；10.___________；11.______________________；

12._____________________；13._____________________；

14．____________________；15._____________________

三、解答题：（共80分，要求写出解答过程）

16.(本小题满分12分)

17.(本小题满分12分)

18.(本小题满分14分)

19.(本小题满分14分)

20.(本小题满分14分)

21.(本小题满分14分)

08届高三(理科)数学摸底测试试题答案

一、选择题答案　 ABCCD　 ABD

二、填空题　 9. ， (第一空2分，第二空3分)， 10. 3， 11. 8，  12. 开放题，答案不唯一.　 13.，14. , 15. 15

三、解答题

16.(本题满分12分)

解: (Ⅰ)由, 是三角形内角，得……………..2分

∴ ………………………………………..5分

  …………………………………………………………6分

(Ⅱ) 在中,由正弦定理， ，

…………………………………………………………………………………………………..9分

, ,

由余弦定理得:

　　　　　　　  =…………………………………12分

17．（本小题满分12分）

（本小题主要考查互斥事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查分类与整合、或然与必然的数学思想与方法，以及运算求解能力）

（Ⅰ）解法一：记“取出的2个小球上的数字互不相同”为事件，

∵从袋中的6个小球中任取2个小球的方法共有种，　　　　　  ……1分

其中取出的2个小球上的数字互不相同的方法有，　　　　 ……3分

∴．　　　　　　　　　　　　　  ……4分

解法二：记“取出的2个小球上的数字互不相同”的事件记为，“取出的2个小球上的数字相同”的事件记为，则事件与事件是对立事件．

∵，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ……2分

∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ……4分

（Ⅱ）解：由题意，所有可能的取值为：2，3，4，5，6．　　　　　 ……6分

，，，

，．

故随机变量的概率分布为

	2	3	4	5	6

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……10分

因此，的数学期望．……12分

解: (Ⅰ)设事件表示“甲选做14题”,事件表示“乙选做14题”,则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“”,且事件、相互独立…………………………..2分

∴　　　………………………………..4分

　　　　　　　　  =………………………………6分

(Ⅱ)随机变量的可能取值为0,1,2,3,4.且.

∴　 ………………….8分

所以变量的分布列为

	0	1	2	3	4

…………………………………………………………………………………………….10分

 或…………..12分

18.(本题满分14分)

(Ⅰ)证明：连结，在中//　………………………………………………………………..2分

且平面，平面

　　　　 …………………………………………………………………………………………………….4分

(Ⅱ)证明：因为面面　平面面　

　　所以，平面　………………………………………………………………………6分

　　又，所以是等腰直角三角形，且　

　　即…………………………………………………………………………………………………………………….8分

　　，且、面

　　面

　　又面　　面面……………………………………………………………..10分

(Ⅲ)解：设的中点为,连结,,则

由(Ⅱ)知面,　

面　

是二面角的平面角……………………………………….12分

中，　

　故所求二面角的正切值为……………………………….14分

另解：如图,取的中点, 连结,.

∵,　∴.

∵侧面底面,,　

∴,

而分别为的中点,∴,又是正方形,故.

∵,∴,.

以为原点,直线为轴建立空间直线坐标系,则有,,,,,.

∵为的中点, ∴.

（Ⅰ）易知平面的法向量为而,

且,　 ∴ //平面.

(Ⅱ)∵,　　∴,

∴,从而,又,,

∴,而,　∴平面平面

(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面的法向量为.

设平面的法向量为.∵,

∴由可得,令,则,

故∴,

即二面角的余弦值为,二面角的正切值为.

19.(本题满分14分)

本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．

（Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中．由于点在椭圆上，有，即．

解得，从而得到．

直线的方程为，整理得．

由题设，原点到直线的距离为，即，

将代入上式并化简得，即．

证法二：同证法一，得到点的坐标为．

过点作，垂足为，易知，故．

由椭圆定义得，又，

所以，

解得，而，得，即．

（Ⅱ）解法一：设点的坐标为．

当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，．

点的坐标满足方程组

将①式代入②式，得，

整理得，

于是，．

由①式得

．

由知．将③式和④式代入得，

．

将代入上式，整理得．

当时，直线的方程为，的坐标满足方程组

所以，．

由知，即，

解得．

这时，点的坐标仍满足．

综上，点的轨迹方程为　．

解法二：设点的坐标为，直线的方程为，由，垂足为，可知直线的方程为．

记（显然），点的坐标满足方程组

由①式得．　　　　　　③

由②式得．　　　④

将③式代入④式得．

整理得，

于是．　　　⑤

由①式得．　　　⑥

由②式得．　　⑦

将⑥式代入⑦式得，

整理得，

于是．　　　⑧

由知．将⑤式和⑧式代入得，

．

将代入上式，得．所以，点的轨迹方程为．

20．（本小题满分14分）

（本小题主要考查函数及其运算、不等式及其性质等基础知识，考查化归与转化、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、逻辑推理能力、运算求解能力和创新意识）

解：（Ⅰ）∵

，　　　　　　　　　　　　　　　　　  ……2分

∵，∴．∴实数的取值范围为．　　　　　　　　　　　 ……4分

（Ⅱ）∵，　　　　　　　　

显然，对称轴．　　　　　　　　　　　　　  ……6分

（1）当，即时，，且．

令，解得，

此时取较大的根，即，

∵，∴．　　　　　　　　  ……10分

（2）当，即时，，且．

令，解得，

此时取较小的根，即，

∵，∴．　　　　　　　　　  ……13分

当且仅当时，取等号．

∵，∴当时，取得最小值－3．　　　　　　　　　　 ……14分

21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．

（Ⅰ）解法一：，

，

．

由此可猜想出数列的通项公式为．

以下用数学归纳法证明．

（1）当时，，等式成立．

（2）假设当时等式成立，即，

那么

．

这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立．

解法二：由，，

可得，

所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．

（Ⅱ）解：设，　　　①

　　　　　　　　②

当时，①式减去②式，

得，

．

这时数列的前项和．

当时，．这时数列的前项和．

（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：

．　　　　③

由知，要使③式成立，只要，

因为

．

所以③式成立．因此，存在，使得对任意均成立．