08届高三年级数学水平测试试题
（文）
本卷分为选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回
第一部分 （选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分。在每小题列出的四个选项只有一项是最符合题目要求的）
1．双曲线
的渐近线方程为 （ ）
A．
B．
C．
D．
|
|
|
是集合A到集合B的映射，如果B={1，2}，那么
等于 （ ）
A． B．{1} C． 或{2} D． 或{1}
3．数列
，……的前n项和为 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件
发生概率为 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．向量
与
共线（其中
等于 （ ）
A．
B． C．－2 D．2
|
A．8 B．7
C．6 D．5
7．已知函数
等于 （ ）
A．
B．
C． D．
8．下列命题不正确的是（其中l，m表示直线，
表示平面） （ ）
A．若
B．若
C．若
D．若
9．迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。小王发现由8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。他写出不是质数的一个数是 （ ）
A．1643 B．1679 C．1681 D．1697
|
的图象如下所示
给出下列四个命题：
（1）方程
有且仅有6个根 （2）方程
有且仅有3个根
（3）方程
有且仅有5个根 （4）方程
有且仅有4个根
其中正确的命题个数是 （ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
第二部分（非选择题 共100分）
二. 填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把正确答案填在题中横线上.
11.函数
的定义域是_______________．
12.设直线
过椭圆的左焦
点F和一个顶点B（如图所示），则这个椭圆
的离心率
__________．
13.设平面
∩平面
，点
平面，
点
平面
，且三点A、B、C都不在直线l上，
给出下列四个命题：
① 
② 
平面ABC ③ 
平面ABC
其中正确的命题是_______________．
▲选做题：在下面二道小题中选做一题，两题都选的只计算第一题的得分．
14.如图所示，AC和AB分别是圆O的切线，
且OC = 3，AB = 4，延长OA到D点，则△ABD的
面积是___________．
15.在极坐标系中，点
到直线
的距离是___________．
16.（本小题满分12分）在
中，已知
,
(1) 求证：
；
（2）若 
＝2，
求
17、（本小题满分14分）如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC = ∠BAD = 90°，PA = BC = AD．
(Ⅰ)求证：平面PAC⊥平面PCD；
(Ⅱ)在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB ？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由．
18．（本小题满分14分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额（最大供应量）如下表所示：
|
消耗量 资源 | 甲产品 （每吨） | 乙产品 （每吨） | 资源限额 （每天） |
| 煤（t） | 9 | 4 | 360 |
| 电力（kw·h） | 4 | 5 | 200 |
| 劳力（个） | 3 | 10 | 300 |
| 利润（万元） | 6 | 12 |
产品问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大？
19．（本小题满分14分）已知函数
（Ⅰ）当
的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。
20．（本小题满分14分）已知M（4，0）、N（1，0），若动点P满足
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过点N的直线l交轨迹C于A、B两点，若
，求直线l的斜率的取值范围。
21（本小题满分12分）
如图所示，设非负实数
满足不等
式组
．
（Ⅰ）在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域；
（Ⅱ）求
的最大值；
（Ⅲ）若在不等式组所表示的平面区域散点，求该点落
在
区域内的概率．
数学（文）试题答案
一.选择题答案：1—5 ADCCA 6—10 BDBCB
二. 填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把正确答案填在题中横线上.
（11）
（12）
（13）
（14）②③ （15）
（16）1
16. （I）证明：
, ……………………………..(2分)
………………………………(4分)
故 ……………(6分)
（2） ＝2，, 
＝2 又
………………………………….(10分)
=
=
…………..(12分)
17、解：设PA = 1.
(Ⅰ)由题意 PA = BC = 1, AD = 2． …………………………………… 2分
∵ PA⊥面ABCD，∴ PB与面ABCD所成的角为∠PBA = 45°．
∴ AB = 1，由∠ABC = ∠BAD = 90°，易得CD = AC = ．
由勾股定理逆定理得 AC⊥CD． …………………………………… 3分
又∵ PA⊥CD, PA∩AC = A，∴ CD⊥面PAC, …………………………………… 5分
又CD Ì 面PCD，
∴ 面PAC⊥面PCD． …………………………………… 6分
(Ⅱ)分别以AB, AD, AP所在直线分别为x轴, y轴, z轴建立空间直角坐标系．
∴ P(0, 0, 1), C(1, 1, 0), D(0, 2, 0)． …………………………………… 8分
 |
设E(0, y, z)，则= (0, y, z－1), = (0, 2, －1)． …………………………………… 9分
∵ ∥，∴ y·(－1)－2 (z－1) = 0 … ① …………………………………… 10分
= (0, 2, 0) 是平面PAB的法向量， …………………………………… 11分
又 = (－1, y－1, z)，由CE∥面PAB，∴ ⊥． …………………………… 12分
∴ (－1, y－1, z)·(0, 1, 0) = 0，∴ y = 1，代入得z = ． …………………………………13分
∴ E是PD中点，∴ 存在E点使得CE∥面PAB． …………………………………… 14分
18．解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨y吨，获得利润z万元…………1分
|
…………………………5分
（图2分）
利润目标函数
………………………………8分
如图，作出可行域，作直线
向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时取最大值。……10分
解方程组
………………………………12分
所以生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润。……14分
19．解：（Ⅰ）
………………………………………………………………3分
当
所以函数的单调增区间为（－
，－3），（－1，＋）；
单调减区产为（－3，－1）………………………………6分）
（Ⅱ）
……………………8分
列表如下：
……………………………………加表格12分
| x |
| －2 | （－2，－a） | －a |
|
|
| + | 0 | － | 0 | + |
|
|
| 极大 |
| 极小 |
|
由表可知
解得
，所以存在实数a，使
的极大值为3。………………………………………………14分
20．解答：（1）设动点P（x，y），
则
…………………………2分
由已知得
，化简得
∴点P的轨迹是椭圆
……………………………………6分
（Ⅱ）设过N的直线l的方程为
由
…………………………8分
…………………………10分
……………………12分
…………………………………………14分
21.（Ⅰ）略；（Ⅱ）9；（Ⅲ）