08届高三年级理科数学第三次质量检测试卷

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷为1—8题，共40分，第II卷为9—21题，共110分。全卷共计150分。考试用时120分钟．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．已知集合A=，那么A的真子集的个数是（　 ）

　　A．3　　 B．16　　 C．15　　　D．4

2．已知向量，且∥，则x =  （　 ）

　　　 A．9　　　　　　　　　　　　B．6　　　　　　　　　　　　C．5　　　　　　　　　　　　D．1

3．函数的最大值是　（　 ）

A．　　 B．　　 C．　　D． 　

4． 若，则=　（　 ）

　　A．32　　　B．1　　　 C．-1　　　　　　 D．-32

5．若函数的减区间为，则的值是　（　 ）

A.　　　　 B.　　 　　　　 C. 　　　　　　D.  

6． 在中，“A>B”是“”成立的　（　 ）

　　A．充要条件　　　B．2充分部必要条件　 C．必要不充分条件　 D．既不充分也不必要条件

7．设等比数列的公比为q，前n项和为s_n，若s_n+1，s_n，s_n+2成等差数列，则公比q为　 　（　 ）

　　　 A．　　　　　　　B．　　　　　　　　 C．　 D．

8．已知函数的图象如右图，则　（　 ）

A． 　B．　　C．　 D．

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．

9．计算=　　  　　　　 （其中） ；

10．曲线在点（）处的切线方程为　　　　　　　 　；

11．从10名女生和5名男生中选出6名组成课外学习小组，如果按性别比例分层抽样，则组成此课外学习小组的概率是　　　　　   ；

12．在＝　　　　　　　　　 ；

13．（坐标系与参数方程选做题）

以极坐标系中的点为圆心，1为半径的圆的方程是　　　  ；

14．（不等式选讲选做题）

不等式的解集是　　　　　　　  ；

15．（几何证明选讲选做题）

则_______.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，已知，且最长边的边长为l.求：

（I）角C的大小；

（II）△ABC最短边的长.

17. （本小题满分12分）

在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射击命中率都是.，每次命中与否互相独立.

  (Ⅰ) 求油罐被引爆的概率.

  (Ⅱ) 如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望；

18. (本小题满分14分）

　　设S_n是正项数列的前n项和，且，

　 （Ⅰ）求数列的通项公式；

　 （Ⅱ）的值

19． (本小题满分14分）

据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x(x＞0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均收入为3000a元（a＞0）。

（I）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x的取值范围；

（II）在（I）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大。

20．(本小题满分14分）

设是函数的两个极值点，且

　 （Ⅰ）求的取值范围；

　 （Ⅱ）求证：.

21．（本小题满分14分）

已知二次函数为常数）；.若直线₁、₂与函数f（x）的图象以及₁，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示.

　 （Ⅰ）求、b、c的值

　 （Ⅱ）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；

　 （Ⅲ）若问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

参考答案

一．选择题：CBBA　CAAA

二．填空题：9、；　10、 ；　11、；12、；　

13、； 14、；　15、

三．解答题：

16．解：（I）tanC＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B）

　　　　　  ∵， ∴　 　　……………………5分

（II）∵0<tanB<tanA，∴A、B均为锐角, 则B<A，又C为钝角，

∴最短边为b ，最长边长为c……………………7分

由，解得　　　 ……………………9分

由　　，∴　　　 ………………12分

17.解：（I）“油罐被引爆”的事件为事件A，其对立事件为，则P()=C…………4分

∴P(A)=1-　　　　 答：油罐被引爆的概率为…………6分

（II）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5，　　…………7分

　　　 P(ξ=2)=，　 P(ξ=3)=C　　 ，

P(ξ=4)=C， P(ξ=5)=C …………10分

ξ	2	3	4	5
P

　　　　故ξ的分布列为：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

Eξ=2×+3×+4×+5×=　 …………12分

18．解（Ⅰ）当n = 1时，解出a₁ = 3 , …………1分

又4s_n = a_n² + 2a_n－3　　　　　　　　　　　　 　　①

　　　　当时　  4s_n－1 =  + 2a_n-1－3　　　　　　　　　　　　　　 ②　

　　　　　  ①－②  , 即…………3分

∴ ,（）…………5分

是以3为首项，2为公差的等差数列　 …………7分

（Ⅱ）　　　　　　　　　　　　　　　 ③

又　　　　　　　④　　…………9 分

④－③ 　　　…………11分

　　　　　　　　　 …………13分

　　　　　　　　　　　　　　　　 …………14分

19. 解：（I）由题意得（100-x）·3000·（1+2x%）≥100×3000，

即x²－50x≤0，解得0≤x≤50，　　　　　　　　　  　　……………………4分

又∵x＞0　 ∴0＜x≤50；　　　　　　　　　　　　　  ……………………6分

（II）设这100万农民的人均年收入为y元，

则y=　=

=－[x－25(a+1)]²+3000+475(a+1)²　　 (0<x≤50)　　………………9分

（i）当0<25(a+1)≤50，即0＜a≤1，当x=25(a+1)时，y最大； ………………11分

（ii）当25(a+1)＞50，即a ＞1，函数y在（0,50]单调递增，∴当x=50时，y取最大值。…………13分　　　　　　　　　　　　　

答：在0＜a≤1时，安排25(a +1)万人进入企业工作，在a＞1时安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大　　　　　　 ………………14分

20．解证：（I）易得…………………………………………1分

的两个极值点，的两个实根，又＞0

……………………………………………………3分

∴

∵，

　　　　　  ……………………………………………7分

（Ⅱ）设则

由　 ………………10分

∴在上单调递增；在上单调递减………………12 分

∴时，取得极大值也是最大值

，………………………………………14分

22．（本小题满分14分）

解：（I）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且f(x)的最大值为16

则，

∴函数f（x）的解析式为…………………………4分

（Ⅱ）由得

∵0≤t≤2，∴直线l₁与f（x）的图象的交点坐标为（…………………………6分

由定积分的几何意义知：

………………………………9分

（Ⅲ）令

因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数

的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点

∴x=1或x=3时，

当x∈（0，1）时，是增函数；

当x∈（1，3）时，是减函数

当x∈（3，+∞）时，是增函数

∴……………12分

又因为当x→0时，；当

所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须

即， ∴m=7或

∴当m=7或时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点。…………14分