高三文科数学第一学期期末考试

数学试题（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题　共60分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用铅笔涂写在答题卡上。

2．第小题选出答案后，用铅笔把题答卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．

2．设a是实数，且是实数，则a=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．1　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　D．2

3．已知向量，则n=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．－3　　　　　　　　　　 B．－1　　　　　　　　　　 C．1　　　　　　　　　　　　D．3

4．有关命题的说法错误的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．命题“若”的逆否命题为：“若”

　　　 B．“x=1”是“”的充分不必要条件

　　　 C．若为假命题，则p、q均为假命题

　　　 D．对于命题，

则

5．三视图如右图的几何体的全面积是　（　　）

　　　 A．　　　　　　　B．

　　　 C．　　　　　　　D．

6．已知函数

　 上的最大值是2，则的最小值等于（ 　 ）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．

　　　 C．2　　　　　　　　　　　　D．3

7．设a,b是两个实数，且a≠b，

　　　 ①

　　　 ②，

　　　 ③。

　　　 上述三个式子恒成立的有　　 （　　）

　　　 A．0个　　　　　　　　　　B．1个　　　　　　　　　　

　　　 C．2个　　　　　　　　　　D．3个

8．右面的程序框图中，输出的数是（　　）

　　　 A．2450　　　　　　　　　 B．2550　　　　　　　　　 C．5050　　　　　　　　　 D．4900

9．各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值

　 为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　B．　　　　　　　C．　　　　　　　D．或

10．设的图象画在同一个直角坐标系

2,4,6

　 中，不可能正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

11．已知抛物线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　B．　　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

12．定义在R上的函数，则

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　

　　　 C．　　　　　　　　　 D．

2,4,6

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

注意事项：

1．用0.5mm的中性笔答在答题纸相应的位置内。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13．若的值为　　　　　　 ；

14．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000（元）月收入段应抽出　　　　　  人；

15．以椭圆的右焦点为圆心，且与

双曲线的渐近线相切的圆的方程

为　　　　　　 ；

16．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，

其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积

V=　　　　　 ；　

三、解答题：本大题共6小题，满分74分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。

17．（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，已知。设B=x，△ABC的周长为y。

　 （1）求函数的解析式和定义域；

　 （2）求的单调区间。

18．（本小题满分12分）甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。

　 （1）设（i,j）分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；

　 （2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？

　 （3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则，则乙胜。你认为此游戏是否公平，说明你的理由。

19．（本小题满分12分）已知数列，设，数列。

　 （1）求证：是等差数列；

　 （2）求数列的前n项和S_n；

20．（本小题满分12分）如图，三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点。

　 （1）证明：平面PBE⊥平面PAC；

　 （2）如何在BC上找一点F，使AD//平面PEF？

并说明理由；

　 （3）若PA=AB=2，对于（2）的点F，求三棱锥

B—PEF的体积。

21．（本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点为F₁，F₂，椭圆上一点M满足

　 （1）求椭圆的方程；

　 （2）若直线L：y=与椭圆恒有不同交点A、B，且（O为坐标原点），求k的范围。

22．（本小题满分14分）设函数，

　 （1）求函数的单调递增区间；

　 （2）若关于x的方程内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围。

参考答案

一、选择题

AADCA  CBACD　CD

2,4,6

二、填空题

13．　　14．25　 15．　　　　16．

三、解答题

17．解（1）：△ABC的内角为A+B+C=

由A=……………………2分

由正弦定得知：

…………………………4分

……………………6分

因为y=AB+BC+AC

所以……………………7分

（2）因为

……………………9分

而

…………………………11分

当单调递增

当单调递减

………………12分

18．解：（1）甲乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4′表示）为

（2，3）、（2，4）（2，4′）、（3，2）、（3，4）、（3，4′）、（4，2）、（4，3）、

（4，4′）、（4，2′）、（4′，3）、（4′，4），共12种不同情况。………………4分

（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4。

因此乙抽到的牌的数字大3的概率为……………………8分

（3）由甲抽到的牌比乙大有（3，2）、（4，2）、（4，3）（4′，2）、（4′，3）共5种

………………11分

甲胜的概率p₁=，乙获胜的概率为

∴此游戏不公平………………………………12分

19．解：（1）由题意知，……………………4分

∴数列的等差数列……………………6分

（2）由（1）知，

…………………………8分

于是

两式相减得

……………………12分

20．（1）∵PA⊥底面ABC，

∴PA⊥BE。

又∵△ABC是正三角形，且E为AC的中点，

∴BE⊥CA。

又PACA=A，

∴BE⊥平面PAC。

∵BE平面PBE，

∴平面PBE⊥平面PAC…………………………4分

（2）取CD的中点F，则F即为所求。

∵E、F分别为CA、CD的中点，

∴EF//AD。

又EF平面PEF，AD平面PEF，

∴AD//平面PEF。…………………………8分

　 （3）……………………12分

21．解：（1）设F₁（－c,0），F₂（c，0）

……………………………………………………2分

　①

又点M在椭圆上

　②

由①代入②得

整理为：

…………………………4分

∴椭圆方程为…………………………5分

（2）由………………7分

设

则

………………10分

……………………12分

22．解：（1）函数的定义域，……………………1分

……………………2分

的取值范围为

……………………4分

（2）方法1：

………………6分

令

由

在区间[1，2]内单调递减，在区间[2，3]内单调递增，………………9分

故内恰有两个相异实根

…………………………12分

即

综上所述，a的取值范围是[2ln3－4，2ln2－3。……………………14分

方法2：

………………6分

即

令

由

在区间[1，2]内单调递增，在区间[2，3]内单调递减。……………………9分

故内恰有两个相异实根

…………………………12分

综上所述，a的取值范围是[2ln3－4，2ln2－3。……………………14分