北京市海淀区高三第二学期期中练习数学（理科）
学校 ___________ 班级 __________ 姓名 ____________
| 题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 | |||||
| （17） | （18） | （19） | （20） | （21） | （22） | ||||
| 分数 | |||||||||
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生除需将学校、班级、姓名写在试卷上，还务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上．
2．每小题选出答案后，除需答在试卷上，还需用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案号．
3．考试结束，考生将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合
．若
，则实数
等于（ ）
（A）1 （B）–1 （C）1或–1 （D）1或–1或0
（2）二项式
展开式中的常数项是（ ）
（A）20 （B）–20 （C）160 （D）–160
（3）已知命题甲：“
”、命题乙：“
”，那么命题甲是命题乙成立的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）非充分非必要条件
（4）极坐标平面内曲线
上的动点P与空点
的最近距离等于（ ）
（A）
（B）
（C）1 （D）
（5）函数
的值域是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）等差数列
的前n项和为
，若
，则
的值（ ）
（A）是55 （B）是95 （C）是100 （D）不能确定
（7）如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（ ）
（8）过定点P（0，2）作直线
，使与曲线
有且仅有1个公共点，这样的直线共有（ ）
（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条
（9）已知点
在经过A（3，0）、B（1，1）两点的直线上，那么
的最小值（ ）
（A）是
（B）是
（C）是16 （D）不存在
（10）函数
与
的图象（ ）
（A）关于直线
对称 （B）关于直线
对称
（C）关于直线
对称 （D）关于直线
对称
（11）若l是过椭圆一个焦点且与长轴不重合的一条直线，则此椭圆与l垂直且被l平分的弦（ ）
（A）有且只有1条 （B）有且只有2条
（C）有3条 （D）不存在
（12）某商场开展促销抽奖活动，摇奖器摇出的一组中奖号码是8、2、5、3、7、1参加抽奖的每位顾客从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个号码中任意抽出六个组成一组，如果顾客抽出的六个号码中至少有5个与摇奖器摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖.一位顾客可能抽出的不同号码组共有m组，其中可以中奖的号码共有n组.则
的值为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果.
（13）已知
，那么
.
（14）不等式
的解集为
.
（15）函数
的图象与
的图象关于直线对称，则函数
的递增区间是_______________．
（16）一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，这样的三棱锥体积为 （写出一个可能值）.
三、解答题：本大题满分74分.
（17）（本小题满分12分）
已知复数z满足
的虚部为2.
（Ⅰ）求argz，并写出z的三角式；
（Ⅱ）设
在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积.
（18）（本小题满分12分）
已知边长为a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G（如图），将此三角形沿DE折成二面角
.
（Ⅰ）求证：平面A′GF⊥平面BCED；
（Ⅱ）当二面角为多大时，异面直线A′E与BD互相垂直？证明你的结论.
（19）（本小题满分12）
已知数列
，前n项和为
，对于任意
总成等差数列.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求通项
（Ⅲ）计算
.
（20）（本小题满分12分）
某港口水的深度y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：时）的函数，记作y=f（t），下面是某日水深的数据：
| t（时） | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
| y（米） | 10.0 | 13.0 | 9.9 | 7.0 | 10.0 | 13.0 | 10.1 | 7.0 | 10.0 |
经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看成函数
的图象.
（Ⅰ）试根据以上数据，求出函数
的近似表达式；
（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米.如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）.
（21）（本小题满分12分）
已知函数y=f（x）是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f（x）（–1≤x≤1）是奇函数．又知在在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值，最小值为–5.
（Ⅰ） 证明：f（1）+f（4）=0；
（Ⅱ）试求y=f（x），x∈[1，4]的解析式；
（Ⅲ）试求在[4，9]上的解析式．
（22）（本小题满分14分）
已知圆C：
.圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切.圆D与y轴交于A、B两点，点P为（–3，0）.
（Ⅰ）若点D坐标为（0，3），求∠APB的正切值；
（Ⅱ）当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值；
（Ⅲ）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出点Q坐标；如果不存在，说明理由．