66．体积计算及其应用（2）
一、典型例题
1． 四面体ABCD中，M、P、N、Q分别是其两组对棱的中点，求截面MNPQ分四面体ABCD所成两部分体积的比。[1∶1]
2．
在正四棱台中，侧棱AA1＝3，下底边AB＝5，侧面对角线A1B＝4，求A1到底面的距离及三棱锥A1－ABD的体积。[
、
]
3．
已知双曲线
，用直线y=h(h>0)截y轴、这双曲线及其渐近线，交点为B、C、D，由x轴、直线y=h，双曲线及其渐近线在第一象限内围成平面图形OACD，将这平面图形绕y轴旋转一周生成的旋转体，试完成下列填空，求出这旋转体的体积V。
①双曲线一段弧AC的方程是 ，渐近线上线段OD的方程是 ；[x=
0≤y≤h]
②设M是OB上任意一点，且OM＝t（0≤t≤h），过M作y轴的垂线交双曲线弧AC于N，交OD于P，则MN= ,MP= 。[
、
]
③线段PN绕y轴旋转一周所截得圆环的面积为 。[pa2]
④根据祖暅原理，找出一个与旋转体体积相等的，而且能求出其体积的几何体，从而得V＝ 。[pa2h]
4．
降水量是指水平地面上单位面积所降雨水的深度，用上口直径为38cm，底面直径为24cm，深为35cm圆台形水桶来测量降水量，如果在一次降雨过程中，用此桶盛得的雨水正好是桶深的
，则此下雨的降雨量是多少？（精确到1mm）[22mm]
5．
设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，底面半径为10cm，底面半径为10cm，C 是SB上一点，①求证：AC与平面SOB不垂直；②若∠AOB＝60°，C是SB的中点，AC与底面成45°角，求这个圆锥的体积。[
cm3]
6．
四面体的一条棱长是x，其它各条棱长都是1，①把四面体的体积表示成x的函数f(x)；②求f(x)的值域；③求f(x)的单调区间。[V=
、
、
]