《函数单调性与反函数》测试题
一、选择题
1.下列函数中，在(0，2)上为增函数的是( )
(A)y=-3x+1
(B)y=x+2 (C)y=
(D)y=x2-4x+3
2.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函数，那么实数a的取值范围是( )
(A)[3，+∞ ) (B)(-∞，-3] (C){-3} (D)(-∞，5]
3.已知函数f(x)=2x2-mx+3，当x∈(-2，+∞)时是增函数，当x∈(-∞，-2)
时是减函数，则f(1)等于( )
(A)-3 (B)13 (C)7 (D)由m而决定的常数．
4.函数f(x)在(-2，3)上是增函数，则f(x-5)的递增区间是( )
(A)(3，8) (B)(-7，-2) (C)(-2，3) (D)(0，5)．
5.函数y=
的递增区间是( )
(A)(-∞，-2) (B)[-5，-2] (C)[-2，1]． (D)[1，+∞)．
6.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意t都有f(2+t)=f(2-t)，那么( )
(A)f(2)<f(1)<f(4) (B)f(1)<f(2)<f(4)
(C)f(2)<f(4)<f(1) (D)f(4)<f(2)<f(1)
7.函数y=f(x)的图象与直线y=x有一个交点，则y=f-1(x)与y=x的交点个
数为( )
(A)O个 (B)1个 (C)2个 (D)不确定
8.奇函数y=f(x)(x∈R)的反函数为y=f-1(x)，则必在y=f-1(x)的图象上的点是( )
(A)(-f(a)，a) (B)(-f(a)，-a) (C)(-a，-f(a)) (D)(a，f-1(a))
9.若函数y=f(x)存在反函数，则方程f(x)=2c(c为常数)( )
(A)有且只有一个实根 (B)至少有一个实根
(C)至多有一个实根 (D)没有实根
10.函数f(x)=
x+b与g(x)=ax-5互为反函数，则a，b的值分别为( )
(A)a=2，b=
(B)a=，b=2 (C)a=，b=-5 (D)a=-5，b=
11.已知函数y=-
的反函数f-1(x)=，则f(x)的定义域为( )
(A)(-2，0) (B)[-2，2] (C)[-2，0] (D)[0,2]
12.如果函数y=f(x)的图象过点(0，1)，则y=f-1(x)+2的图象必过点( )
(A) (1,2) (B)(2,1) (C) (0,1) (D)(2,0)
二、填空题
13.函数y=
的单调递增区间是_______________
14.已知函数f(x)=x2-2ax+a2+b，(1)若f(x)在(-∞，1)上是减函数，则a的取值范围是______；(2)若对于任意x∈R恒有f(x)≥0，则b的取值范围是____
15.函数y=3m(x-1)的反函数图象必过定点 _____________
16.函数y=-(x-1)2(x≤O)的反函数为 ___________
三、解答题
17.求函数f(x)=x+
在(0，+∞)上的单调性．
18.设函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，且有f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1)，求实数a的取值范围．
19.已知函数f(x)=x+
，
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求证：f(x)在其定义域内是增函数；
(3)求f(x)的值域．
20.已知f(x)=f-1(x)=
(x≠-a)，求实数a．
21.求函数y=
，x∈(-1，+∞)的图象与其反函数y=f-1(x)图象的交点坐标．
22.已知函数f(x)=
，函数g(x)=f-1()．试判断g(x)在(1，+∞)上的单调性，并加以证明．
参考答案
一、选择题
1. B；2.B；3.B；4.A；5.B；6.A；7.B；8.B；9.C；10.A；11.D；12.A；
1.提示：y=x+2在[-2，十∞]上是增函数，在(0，2)上也必定是增函数．故选B．
2.提示：∵f(x)=x2+2(a-1)x+2的图象开口向上，对称轴方程为x=1-a，且在区间(-∞，4)上是减函数,∴1-a≥4．解得a≤-3．故选B．
3.提示：∵f(x)在(-2，+∞)上是增函数，在(-∞，-2)上是减函数,∴f(x)的对称轴方程为x=
=-2,∴m=-8．这时f(x)=2x2+8x+3,∴f(1)=13．故选B．
4.提示：由已知得-2<x-5<3，∴-3<x<8故选A.
5.提示：由5-4x-x2≥O，得函数的定义域为{x-5≤x≤1}．∵y=5-4x-x2=(x2+4x+4)+9=-(x+2)2+9，对称轴方程为x=-2，抛物线开口向下， ∴函数的递增区间为[-5，-2]．故选B．
6.提示：由条件知，抛物线的开口向上，对称轴方程为x=2，因此，离对称轴越远的点对应的函数值越大，∴f(2)<f(1)<f(4)．故选A．
7. 提示：f(x)与f-1(x)的图像关于y=x对称,且函数y=f(x)的图象与直线y=x有一个交点，则y=f-1(x)与y=x的交点个有一个. 故选B.
8.提示：∵(a,f(a))在y=f(x)上,则(f(a),a) 在y=f-1(x)上.∵y=f(x)(x∈R)是 奇函数.∴(-a,-f(a)) 在y=f(x)上,则(-f(a),-a) 在y=f-1(x)上, 故选B.
9. 提示：∵y=f(x)存在反函数.∴函数y=f(x)的图象上的点一一对应. f(x)=2c,c为常数,2c为常数,∴方程f(x)=2c(c为常数)至多有一个实根. 故选C.
10. 提示：∵（0，-5）在g（x）上，函数f(x)=x+b与g(x)=ax-5互为反函数，∴（-5，0）在f（x）上。∴-+b=0,b=.由答案知故选A.
11. 提示：根据题意4-x2≥0,∴-2≤x≤2.又∵f-1(x)=≥0,反函数的值域是原函数的定义域.∴x∈[0,2]. 故选D.
12. 提示：y=f-1(x)+2是函数y=f-1(x)的图像向上平移二个单位而成,∵函数y=f(x)的图象过点(0，1),∴函数y=f-1(x)的图像过(1,0),∴y=f-1(x)+2的图象必过点(1,2). 故选A.
二、填空题
13.[2,+∞)；14.（1）a≥1，（2）b≥0； 15. （1，1）； 16.y=-
+1 （x≤-1）
13.提示：由x2-2x>O，得函数的定义域为(-∞，0]∪[2，+∞)．又抛物线开口向上，对称轴方程为x=1，故递增区间为[2，+∞]．
14.提示：由已知条件知a≤1．∵f(x)=(x-a)2+b≥0恒成立,∴b≥0，故(1)填a≤1，(2)填b≥0．
15. 提示：y=3m(x-1),x=1时,y=1.∴y=3m(x-1)的图像必过(1,1)点.其反函数图像必过(1,1)点.
16. 提示：∵y≤-1,∴-y=(x-1)2.∴x=1±
,∵x≤0,∴x=1-.
∴其反函数为y=1-.
三、解答题
17.证明：设x1，x2∈(O，+∞)，且x1<x2，
则f(x1)-f(x2)=x1+
-x2-
=(x1-x2)+
=(x1-x2)(1-
)
∴当1≤x1<x2时，x1-x2<0，x1x2>l，0<<1，
∴1->0,∴(x1-x2)(1-)<0，∴f(x1)<f(x2)
∴f(x)在[1，+∞]上是增函数．
当0<x1<x2≤l时，x1-x2<0，0<x1x2<1，l-<0，
(x1-x2)(1-)>0，∴f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在(O，1)上是减函数．
即f(x)=x+在(0，1)上是减函数，在[1，+∞)上是增函数．
18.解：2a2+a+1=2(a2+
+
)+
=2(a+
)2+>0，
3a2-2a+1=3(a2-
a+
)+=3(a-
)2+>0．
又∵f(x)在(0，+∞)上是减函数，
∴原不等式可变形为2a2+a+l>3a2-2a+1．
整理，得a2-3a<0．解得0<a<3．
19.解：(1)要使函数有意义，须l+2x>O，解得定义域为x≥-．
(2)任取x1,x2∈[-，+∞)，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=x1+
-x2-
= (x1-x2)+-= (x1-x2)+
= (x1-x2)(1+
).
∵-≤x1<x2,∴x1-x2<0,又∵1+>0
∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在[-，+∞]上是增函数．
(3)由(2)知f(x)min=f(-)=-， ∴y=f(x)的值域为[-，+∞)．
20. 解：由y=，得xy+ya=2x+1，x(y-2)=l-ay,
x=
．交换x，y，得y=
， 即f-1(x)=
．又∵f(x)=f-1(x)，
∴
，即，对x≠2的任意实数x恒成立．
∴a=-2．
21.解：由y=；得xy+y=2x，x(y-2)=-y，x=
．
交换x，y得y=的反函数为y=
．代入y= 得=，
+=0， x(
)=0, x·
=0
x·
=0 ∴x1=0,x2=1, 0,1∈(-1,+∞)
分别代入y= ,得y1=0,y2=1
∴函数y=，x∈(-1，+∞)与其反函数的交点为(0，0)和(1，1)
22.解:由y=f(x),得yx-y=x+1,x(y-1)=y+1,x=
,交换x,y得f-1(x)=(x≠1)
g(x)=f-1()=
=
=-=-
=-1-
∴g(x)=
-1在(1，+∞)上是增函数．
证明：设1<x1<x2，则g(x1)-g(x2)=-1-
+1+
=-
=
. ∵1<x1<x2,∴x1-x2<0,x1-1>0,x2-1>0.
∴
<0, ∴g(x1)-g(x2)<0 即g(x1)<g(x2)．
由函数单调性的定义知：g(x)=-1在区间(1，+∞)上是增函数.