2004－2005学年度上学期

高中学生学科素质训练

高三数学同步测试（11）—《导数及应用》

一、选择题（本题每小题5分，共60分）

1．如果是连续函数，则等于　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．－1　　　　　　　　　　 B．0　　　　　　　　　　　 C．1　　　　　　　　　　　　 D．2

2．已知函数的解析式可能为　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　D．

3．设是函数的导函数，的图象

　 如图所示，则的图象最有可能的是（　　）

4．若函数f(x)=  在点x=1处连续，则实数a=　　　　　　　　　　　 （ 　 ）

　　A．4　 　　　　　 B．　 　　　　 C．4或　 　　　　 D．或－4

5．若函数f(x)=x²+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f ^/(x)的图象是　 　　　 （　　）

6．已知函数（为常数）图象上A处的切线与的夹角为，则A点的横坐标为　　 （　　）

A．0　　　　 　　　　B．1　　　　　　 C．0或　　　　　 D．1或

7．函数的单调递减区间是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

A．（，+∞）　　　B．（－∞，）　　C．（0，）　　　　　 D．（e，+∞）

8．一点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的距离为s=t⁴-t³+2t²，那么速度为零的时刻

　 是　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

A．1秒末　　　　　　　B．0秒 　　　　　　　 C．4秒末 　　　　　　 D．0,1,4秒末

9．2003年春季，我国部分地区流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制．下表是某同学记载的5月1日至5月12日每天北京市病患者治愈者数据，及根据这些数据绘制出的散点图．　　　　　　　　　　 （　　）

日期	5.1	5.2	5.3	5.4	5.5	5.6
人数	100	109	115	118	121	134
日期	5.7	5.8	5.9	5.10	5.11	5.12
人数	141	152	168	175	186	203

下列说法：

①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；

②若日期与人数具有线性相关关系，则相关系数与临界值应满足；

③根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系． 其中正确的个数为

A．0个　　　　　　　　　　B．1个　　　　　　　　　　C．2个　　　　　　　　　　D．3个

10．设函数 在x=2处连续, 则a=　　　　　　　　　 （　　）

　　A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　C．　　　　　  　 D．

11．已知函数的图象如图所示,给出下列结论

　 （1）在点处极限存在.

　 （2）在点处极限存在.

　 （3）在点处连续.

　 （4）在点处连续.

其中正确结论有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　 （　　）

A．1个　　 　　　　　 B．2个　　　　　　　　C．3个　　　 　　　　 D．4个

12．函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是　　 　　　　　（　　）

A．1，-1　　　　　　　B．1，-17　　　 　 C．3，-17　　　 　　D．9，-19

二、填空题（本题每小题4分，共16分）

13．过点P（－1，2）且与曲线y=3x²-4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是______.

14．曲线在交点处切线的夹角是______，（用弧度数作答）

15．设曲线C：y=cosx与直线的交点为P，曲线C在

P点处的切线经过（a，0）点，则a等于　　　　  .

16．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一

个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，……，记这个数列

前n项的和为S(n)，则S（16）等于　　　　.

三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：

17．（本小题满分12分）已知在区间上最大值是5，最小值是－11，求的解析式.

18．（本小题满分12分）设函数 （a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，取极小值

　 （1）求a、b、c、d的值；

　 （2）当时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你

的结论.

19．（本小题满分12分）已知a＞0，函数，x∈[0，+∞)，设x₁＞0，记曲线y＝f (x)在点M (x₁，f (x₁))处的切线为l．

　 （1）求l的方程；

　 （2）设l与x轴交点为(x₂，0)，证明：①x₂≥，②若，则．

20．（本小题满分12分）函数)

　 （1）已知的展开式中的系数为，求常数

　 （2）是否存在的值，使在定义域中取任意值时，恒成立？如存在，求出

的值，如不存在，说明理由.

21．（本小题满分12分）设曲线在点x处的切线斜率为k(x)，

且k (－1)=0.对一切实数x,不等式x≤k (x)≤恒成立(≠0).

　 （1）求f (1)的值;

　 （2）求函数k (x)的表达式;

　 （3）（理）求证: ＞.

22．（本小题满分14分）已知函数为自然对数的底数.

　 （1）讨论函数的单调性；

　 （2）求函数在区间[0，1]上的最大值.

参 考 答 案

（十一）

一、选择题（每小题5分，共60分）：

(1).C (2).A (3).B (4).C (5). A(6).C (7).C (8).D (9).C (10).C (11).B (12).C

二、填空题（每小题4分，共16分）

(13). 2x－y+4=0 ;  (14).  ； (15).  (16).164

三、解答题（共74分，按步骤得分）

17. .解

　　　令=0,得

　　 若a>0,

		0
	+	0	-
	↗	极大	↘

　　 因此f(0)必为最大值,∴f(0)=5,得b=5,

　　

　　

若a<0,同理可得f(0)为最小值, ∴f(0)=-11,得b=-11,

　…………（12分）

18．解（1）∵函数图象关于原点对称，∴对任意实数，

，即恒成立

…………4分　，

时，取极小值，解得…6分

　（2）当时，图象上不存在这样的两点使结论成立.…………8分

假设图象上存在两点、，使得过此两点处的切线互相垂直，

则由知两点处的切线斜率分别为，

且…………（*）…………10分

、，

此与（*）相矛盾，故假设不成立.………………12分

19．(1)解：，∴曲线y＝f (x)在点M (x₁，f (x₁))处的切线的斜率
　　∴切线l的方程为，即…… 4分

(2)解：令y＝0得
　　①≥0　　(*)
　　∴，当且仅当时等号成立．

∵，∴(*)中“＝”不成立，故　　　　　　　　 ………8分
　　
　　∵　∴，故x₂＜x₁
　　∴当时，成立．　　　　　　　 ………………………12分

20．解（1）T_r+1=C　由　解得……3分

　 ……6分

（2）　要使（

　　只需……8分　1⁰当时，设

	（0，		（，+）
	—	0	+
		极小值

……10分

2⁰当时，不成立　3⁰当时，不成立　故当……12分

另解法　　只需

21．解: (1) ≥0

∴a＞0,△≤0, (b－1)²－4ac≤0　 ①

 －≤0,

 ∴＜0,△≤0,≤0 ②

 又∵1≤k(1)≤, ∴k(1)=1

 又∵k(1)=a + b + c=4a, ∴

 ∴

 (2)

(理) (3) ＞

..

22．解：（1）

（i）当a=0时，令

若上单调递增；

若上单调递减.

（ii）当a<0时，令

若上单调递减；

若上单调递增；

若上单调递减.

（2）（i）当a=0时，在区间[0，1]上的最大值是

（ii）当时，在区间[0，1]上的最大值是.

（iii）当时，在区间[0，1]上的最大值是（14分）